自分用メモ。 続きを読む
「数学」カテゴリーアーカイブ
一般向けの数学イベントで複素関数の話をした
縁あって、MathPower 2016 というイベントの企画の一つ（Math.pow() 〜 6名のプログラマが語る「数学のチカラ」）でライトニングトークさせていただいた。 続きを読む
Catmull-Rom スプライン曲線についてのメモ
2件の返信
解析接続っぽいことができる Web ページ（わくわく解析接続）を公開した
対数関数や平方根のような複素関数は、閉曲線に沿って解析接続すると元の関数と値がずれる場合がある。対数関数や平方根であればまだ単純だから良いが、根号の中に多項式等が入るような関数だと、具体的な曲線に対して関数の枝を計算するのは少し面倒である。
というわけで、以前に作った複素積分の Web アプリ（ブラウザアプリ）のような感じで、平面に描いた曲線に沿って解析接続してくれるアプリ（Web ページ）を作った。「複素関数で遊ぼう」「たのしい複素積分」に続く、複素関数シリーズ第3弾とでも言おうか。今のところ愛称は設定していないが、気が向いたらページのタイトルを「わくわく解析接続」に変えているかもしれない。→変えた。この記事のタイトルも変更。 続きを読む
逆双曲線関数と逆三角関数の branch cut
逆双曲線関数と逆三角関数をナメてかかっていたら落とし穴にはまったので、ブログ記事としてまとめておく次第である。 続きを読む
たのしい複素積分
1年近く前に、複素積分をインタラクティブに行える Web ページ（Web アプリ？）を作ったのだが、ブログでの紹介がまだだった。
0の0乗
「0の0乗」については、数学をやっている人とそうじゃない人で割と認識に差がありそうだと思う。そこで、（まだ青二才の学生ではあるが）数学をやっている者の端くれとして思うことを書いておく。
まず、（たぶん）世間でよく言われている「0の0乗を1とすべき理由」と「0の0乗が不定となる理由」について述べ、それを踏まえて、数学をやる上での「それでも0の0乗を1とする理由」を述べる。 続きを読む
豊穣圏の教科書
最近、豊穣圏(enriched category)という概念に触れることがあって、それの標準的な教科書って何かなあと思ったら、G.M.Kelly “Basic Concepts of Enriched Category Theory”というのがそれっぽくて、しかも無料でPDFをダウンロードできるらしい。
MacLaneのCWMには豊穣圏の名前といくつかの例は出てくるけどちゃんとした定義は出てこない。まあ、ちゃんとした定義を書こうとするとモノイド圏(monoidal category)の定義をしてうんたらしないといけないようだが。
豊穣圏というのは（今の自分の理解で）大雑把に言うと、圏のhom-setに単なる「集まり」以上の構造が入ったものである。例えば、加群の圏には、それぞれのhom-setにアーベル群の構造が入っているので、アーベル群の圏 Ab でenrichされた圏の例となっている。
別の例を挙げると、各hom-setにゼロ射が入っている圏は、それぞれのhom-setに点つき集合の構造（ゼロ射が基点）が入っているとみなせる。つまり、ゼロ射を持つ圏は、点つき集合の圏 Set* でenrichされた圏と言える。
各hom-setに構造が入っていればいいというものではなくて、Ab-enriched categoryだと射の合成が双線形、Set*-enriched categoryだとゼロ射（hom-setの基点）を合成するとゼロ射、という風に、合成の方にも条件が付いてくる。この辺の条件を表現するのに、モノイド圏の構造が必要になる。
ガンマ関数の計算（Lanczos近似）
ガンマ関数とは、みなさんおなじみの、
- \(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),\)
- \(\Gamma(1)=1,\)
- \(x>0\) に対し \(\log\Gamma(x)\)は凸
を満たす \(\def\Complex{\mathbf{C}}\Complex\) 上の有理型関数である。\(\DeclareMathOperator\Re{Re}\Re z>0\) に対しては、以下の積分表示がある。\[
\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt
\]
階乗 \(n!\) との関係は\[
n!=\Gamma(n+1)
\]となる。
重要な公式としては、反転公式\[
\Gamma(1-z)\Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}
\]がある。特に、\(z=\frac{1}{2}\) とおけば \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\) が得られる。
さて、コンピューターでガンマ関数の値を数値的に計算するにはどうすればいいのか。指数関数とか三角関数だとかは分かりやすい冪級数表示があったから良かったが、ガンマ関数にはそういうのはないのか。
いろいろググって調べた結果、ガンマ関数の近似方法として、Lanczos近似というのがあるらしい。が、ググっているだけではいまいちその実体が釈然としないし、導出方法もよくわからない。なので、Lanczosの原論文（1964）を読むことにした。大学院生という身分は便利なもので、大学の図書館でその論文にアクセスできた。