「週刊 代数的実数を作る」創刊

コンピューター上で実数を取り扱うには、いくつかの方向性がある。普通は浮動小数点数によって近似することが多いと思うが、多倍長計算を始めとする、「コストをかけてでも正確に」計算するという方向性もある。

そのような「正確に取り扱える」実数のクラスとしては、整数(多倍長整数)や有理数はある程度普及していると思う(標準で備えているプログラミング言語がある)。それよりも広いクラスとして、代数的実数、つまり(整数または有理数係数)代数方程式の根となるような実数全体、というものがある。

代数的実数が計算機で取り扱えるということ自体は割と知られた事実だと思うが、実装は割と大変で、工夫の余地がある。有理数のように「GCD さえ実装すればよい」というものではない。

かくいう私も最近までその辺を真面目に勉強しようとは思っていなかったわけだが、何となくモチベーションが湧いてきたので、代数的実数に関するアルゴリズムを勉強しつつまとめたものを記事として Web 公開してみようかと思った次第である。

実装には筆者の好みで、 Haskell を使う。実際のところ、 Haskell による代数的実数の実装は既にあるようだが、まあ気にしない(自身の勉強が主目的なので)。

というわけで、以下のページで公開している:

https://miz-ar.info/math/algebraic-real/

「週刊」と名乗っているが、毎週末に更新することを目指している。果たしていつまで続くかは不明である。 続きを読む

八ヶ岳登山

登山は、人生と同じく、始まりと終わりのある物語である。

普段はこのブログには学術的、技術的なことを書くことが多いが、今回は趣向を変えて、登山について書くことにする(行ったのは8月)。


計画

山に、行きたい。今年に入ってからまだまともに登山していない。去年せっかく買った1人用テントが泣いている(このテントのもとを取るには最低10泊以上使う必要がある計算であるが、この時点でまだ3泊しかしていない)。

まず、どこに行くか。北アルプス?今現在北アルプスで行きたいと思っているコースは3泊4日以上あって大変だし、先日富山の実家に帰省したばっかりなのにまた戻るのはだるい。南アルプス?南アルプスの主だった山は全て登頂済みだ。まだ登ったことのない山、まだ行ったことのない山域に行きたい。

八ヶ岳。八ヶ岳は、メジャーな山域な割に筆者はまだ行ったことがなく(!)、標高2800mを超える高山で、東京からのアクセスも割と良い。八ヶ岳に行こう。 続きを読む

交差型 (intersection types)

型システムの勉強の続き。

有界量化を持つ体系 System F<: (Fsub) に続いて、交差型を持つ体系 F (Finter) を実装する。

作ったものは、前と同じ GitHub に置いてある:

https://github.com/minoki/LambdaQuest

TaPL でも交差型について言及されているが、あまり詳しく書いてあるとは言えない。そこで、B. C. Pierce の Programming with Intersection Types and Bounded Polymorphism (1991) という論文を参考にした。著者のサイトにPDFが置いてある。似たようなトピックの論文が他にもあるようだが、それらとの関係は確認していない。

論文の Finter では有界量化の上界に関して反変な部分型関係を入れているが、それをやると(TaPLにもあるように)部分型関係が決定手続きでなくなるらしいので、今回実装した Finter には(前回実装した Fsub にも)それは入れていない。

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型システムの勉強

型システムを自分で設計したいと思ったので「型システム入門 プログラミング言語と型の理論」(原題:Types and Programming Languages, 略して TaPL)を読んで勉強している。

この記事は私の雑な理解を吐き出したものであり、あまりまとまっていない。しかし、何かしらをアウトプットすることに意義がある(キリッ 続きを読む