「数学」カテゴリーアーカイブ

豊穣圏の教科書

コメントを残す

最近、豊穣圏(enriched category)という概念に触れることがあって、それの標準的な教科書って何かなあと思ったら、G.M.Kelly “Basic Concepts of Enriched Category Theory”というのがそれっぽくて、しかも無料でPDFをダウンロードできるらしい。

MacLaneのCWMには豊穣圏の名前といくつかの例は出てくるけどちゃんとした定義は出てこない。まあ、ちゃんとした定義を書こうとするとモノイド圏(monoidal category)の定義をしてうんたらしないといけないようだが。

豊穣圏というのは（今の自分の理解で）大雑把に言うと、圏のhom-setに単なる「集まり」以上の構造が入ったものである。例えば、加群の圏には、それぞれのhom-setにアーベル群の構造が入っているので、アーベル群の圏 Ab でenrichされた圏の例となっている。

別の例を挙げると、各hom-setにゼロ射が入っている圏は、それぞれのhom-setに点つき集合の構造（ゼロ射が基点）が入っているとみなせる。つまり、ゼロ射を持つ圏は、点つき集合の圏 Set* でenrichされた圏と言える。

各hom-setに構造が入っていればいいというものではなくて、Ab-enriched categoryだと射の合成が双線形、Set*-enriched categoryだとゼロ射（hom-setの基点）を合成するとゼロ射、という風に、合成の方にも条件が付いてくる。この辺の条件を表現するのに、モノイド圏の構造が必要になる。

ガンマ関数の計算（Lanczos近似）

コメントを残す

ガンマ関数とは、みなさんおなじみの、

  • \(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),\)
  • \(\Gamma(1)=1,\)
  • \(x>0\) に対し \(\log\Gamma(x)\)は凸

を満たす \(\def\Complex{\mathbf{C}}\Complex\) 上の有理型関数である。\(\DeclareMathOperator\Re{Re}\Re z>0\) に対しては、以下の積分表示がある。\[
\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt
\]

階乗 \(n!\) との関係は\[
n!=\Gamma(n+1)
\]となる。

重要な公式としては、反転公式\[
\Gamma(1-z)\Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}
\]がある。特に、\(z=\frac{1}{2}\) とおけば \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\) が得られる。

さて、コンピューターでガンマ関数の値を数値的に計算するにはどうすればいいのか。指数関数とか三角関数だとかは分かりやすい冪級数表示があったから良かったが、ガンマ関数にはそういうのはないのか。

いろいろググって調べた結果、ガンマ関数の近似方法として、Lanczos近似というのがあるらしい。が、ググっているだけではいまいちその実体が釈然としないし、導出方法もよくわからない。なので、Lanczosの原論文（1964）を読むことにした。大学院生という身分は便利なもので、大学の図書館でその論文にアクセスできた。

続きを読む →

東大入試理系数学2015第5問（解いてみた）

コメントを残す

暇だったから[要出典]今年の東大の入試問題数学の問題に目を通してみた。問題文はこのへんやこのへんで参照できるようだ。

ツイッターでの評判を見る感じ、第5問と第6問が話題になっていて、第5問は整数問題、第6問は（大学の）解析学で出てくる概念に関係あるみたいな感じだった。第5問のが問題文が短い（問題文が長いと読むのが面倒くさい）のでとりあえず第5問を解いてみる。

続きを読む →

一次分数変換と球面の回転の話(0)

コメントを残す

\(\require{AMScd}\def\Real{\mathbf{R}}\def\Complex{\mathbf{C}}\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}\)次の形をした複素関数 \(f\) を一次分数変換という:\[
f(z)=\frac{az+b}{cz+d},\quad \text{ただし \(ad-bc\ne0\).}
\]分母が0になるとき（\(z=-d/c\) のとき）は \(f(z)\) の値は複素数としては定まらない、のだが、値が複素数であることにこだわらなければここは \(\infty\) としておくのが都合がいい。逆に、\(z=\infty\) のときは、（\(z\to\infty\) の極限を考えれば分かるように）\(f(z)\) の値は \(a/c\) として定義できそうである。何がいいたいかと言うと、一次分数変換は、複素平面の関数というよりは、複素平面に「無限遠点」を加えたもの \(\Complex\cup\{\infty\}\) の関数をみるのが自然である。

複素平面に無限遠点を加えたもの \(\Complex\cup\{\infty\}\) は、球面と同一視できる（こうやって同一視したものをリーマン球面という）。球面上の点 \(P\) に複素平面の点 \(z\) をどう対応させるかというと、球の北極 \((0,0,1)\) から \(P\) に直線を引いて、その直線が複素平面と交わる点 \(z\) を対応させる。逆に、複素平面の点 \(z\) に対しては、\(z\) と北極 \((0,0,1)\) を結ぶ直線を引いて、それが球面と交わる（北極じゃない方の）点 \(P\) を対応させる。北極に対応する点は複素平面上にはないので、北極には無限遠点 \(\infty\) を対応させる。この対応を立体射影(stereographic projection)という。
projection-fig
続きを読む →

SO(2) と SO(3) が弧状連結であることの簡便な（？）証明

コメントを残す

\(\def\Real{\mathbf{R}}\def\Complex{\mathbf{C}}\newcommand{\ip}[2]{\left\langle #1,#2\right\rangle}\newcommand{\vect}[1]{#1}\def\Ker{\operatorname{Ker}}\newcommand{\restrict}[2]{\left.#1\right\rvert_{#2}}\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^T}\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}\)特殊直交群 \(SO(n)\) が（弧状）連結であることを示すのはこの記事に書いたやり方がおそらく正攻法なのだろうが、次元が低い時はもっと短い議論でできるんじゃないかなあと思った。

命題. \(SO(2)\) の元 \(A\) は次の形に書ける。\[
A=\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta \\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
\]
証明. \(A\) を成分表示して \(SO(2)\) の条件の式に代入してガリガリ計算すればわかる。
定理. \(SO(2)\) は弧状連結である。
証明. さっきの命題を使えば簡単。

続きを読む →

SU(n) と SO(n) が弧状連結であることの証明

コメントを残す

\(\def\Real{\mathbf{R}}\def\Complex{\mathbf{C}}\newcommand{\ip}[2]{\left\langle #1,#2\right\rangle}\newcommand{\vect}[1]{#1}\def\Ker{\operatorname{Ker}}\newcommand{\restrict}[2]{\left.#1\right\rvert_{#2}}\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^T}\)特殊ユニタリ群 \(SU(n)\) や特殊直交群 \(SO(n)\) が（弧状）連結であることは当たり前のようにバンバン使うけど自分でそらで証明できるか怪しいなあと思ったので、証明をつけてみることにした。
続きを読む →

R^3のベクトル積とso(3)のメモ

コメントを残す

今回は \(\mathbf{R}^3\) のベクトル積とか回転行列とかに関する覚え書き。割と初等的。大学2年ぐらいのレベルだろうか。オチはない。

定義とか

3次の実正方行列全体の集合を \(M(3,\mathbf{R})\) で表す。3次の特殊直交群 \(SO(3)\) を\[
SO(3)=\{A\in M(3,\mathbf{R})\mid\det A=1,~{}^tAA=I\}
\]で定める。特殊直交群の元はいわゆる回転を表す行列である。

3次の交代行列全体の集合を \(\mathfrak{so}(3)\) で表す。\(\mathfrak{so}\) は小文字のsoをフラクトゥールで書いたものである。\[
\mathfrak{so}(3)=\{X\in M(3,\mathbf{R})\mid X+{}^tX=0\}
\]\(\mathfrak{so}(3)\) は3次元の実線形空間であり、\begin{align*}
E_1&=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},&
E_2&=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},&
E_3&=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
\end{align*}は一組の基底となっている。\(\mathfrak{so}(3)\) の元 \(X\in\mathfrak{so}(3)\) は実数 \(a,b,c\in\mathbf{R}\) により\[
X=\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\end{pmatrix}=aE_1+bE_2+cE_3
\]と書ける。

ベクトル積

続きを読む →

学園祭で来場者に複素関数を教えた話

11月22日から24日にかけて行われた東京大学駒場キャンパスでの第65回駒場祭で、数学科有志による「ますらぼ」企画(@UTmathlabo)に参加していました。「ますらぼ」では、数学科生・院生による発表、我々で作った冊子の配布、それから数学に関する展示が行われていました。

私は、かねてから作っていた複素関数を視覚化するWebアプリケーション “Conformality” に関する記事を書いたり、展示をしたりしていました。

冊子には、いくつかの複素関数の例・解説と、Webアプリの舞台裏に関する記事を書きました。一方、展示では、いくつかの複素関数の例・解説をポスター（というほどの紙の大きさでもない）で貼ったのと、パソコンとタブレットを用意して実際にWebアプリを動かしながら解説するのをやりました。

来場者に解説するとき、聞き手のレベルに合わせて話して、分かってもらうのは楽しかったです。実際どのぐらい理解してもらえたかは不明ですが…。あと、ふだんあまり喋らないので声が枯れました。

具体的に、レベルに応じてどんな内容を話したかというと、

小学生（！）

  • そもそも0や負の数はまだ習っていないので、まずはそこから。
  • 複素数の足し算が平行移動になることを説明できれば十分すぎるだろう。

中学生

  • 実数はOK。「数直線の数」みたいな感じ。
  • 複素数を紹介。いずれ高校で習うよ、ということで。
  • 複素数のかけ算ぐらいまでは解説しただろうか？
  • 「関数」としては \(y=ax^2\) ぐらいがいいとこだったかな？と思ったが、中学校では「関数」として「一次関数」というのが出てくるのを失念していた。

高校生

  • 現行の学習指導要領では数学IIIで複素数平面を扱う。複素数自体は、もっと前の2次方程式関連のところで出てくるはず。（高校では「複素数平面」というようだが、数学が専門の人は普通は「複素平面」と言う。私のような面倒くさがりな人には1文字少ないのはでかい）
  • 学年としては、3年生は複素数平面知っているはず。2年生の11月では複素数平面をやっている学校があるかないか、という感じ。聞いてみたところ「明日（火曜日）から複素数平面の単元に入る」という人もいた。
  • 事前に書店などに出向いて数学IIIの参考書を立ち読みしたところ、高校で扱うのは（今回関係ありそうなのは）複素数のかけ算の図形的な意味やド・モアブルの定理がせいぜいだということが分かった。
  • 今は高校で行列を教えないので、一次分数変換と行列の関係を教えにくかった。
  • 高校では実数の指数関数や三角関数を習う。

大学生

  • 複素数や複素平面はまあ知っている（1、2年生や、文系の3、4年生も含めて）。
  • 理系の3、4年生には一次分数変換の円円対応や正則関数の等角性まで知っている人もいて話が早かった。

という感じでした。

教える関数としては、当初は一次分数変換が一番単純かなあと思いましたが、高校生を視野に入れるなら複素数のかけ算（拡大縮小と回転）からやった方が学習の役にも立つだろうと思って、冊子やポスターでは最初に複素数のかけ算の例を載せました。しかし、実際に人に教えるときはもっと初歩的な、複素数の足し算の幾何学的意味（平行移動）から始めたので、他人への解説の仕方というのは自分だけで考えてもわからないものだということを認識しました。

解説内容はそのうちこのブログかどこかに載せたいと思います（時間があれば）。

余談として、「ますらぼ」の教室では学内無線LANが使えないので、Webアプリケーションを動かすには工夫が必要でした。持ち込んだ機器は

  • MacBook
    • 解説の際の主力。
    • ペアレンタルコントロールを設定したアカウントでWebブラウザを動かした。
    • セキュリティースロットにワイヤーをつけて盗まれないようにした。6年半前にこのMacBookを買ってから初めてセキュリティースロットが活躍した。
  • Nexus 7
  • AirMac Express
    • Nexus 7とMacBookを同一ネットワークにつなげた。

で、MacでWebサーバーを動かしてWebアプリケーションを動かす感じにしました。URLは本来の “https://miz-ar.info/webapp/conformality/” で動いているように見せたかったので、MacBookとNexus 7で d-poppo.nazo.cc がMacBookのIPアドレスに解決されるようにしました。

ドメイン名に対して好き勝手なIPアドレスを割り当てるためには /etc/hosts をいじるのが手軽な方法だと思います。しかし、Androidの場合は /etc/hosts をいじるにはroot権限を取る必要があり、調べてみたところ思いの外危なそう＆面倒くさそうだなあと思ったので、代わりに手元でDNSサーバーを動かすことにしました。MacBookにはDNSサーバーのソフトウエア（BIND9）が搭載されていた（最新のOSXにはないらしい）のですが、駒場祭直前にBIND9の使い方なんて覚えられない…。と思っていたらWebminとかいう便利なツールがあることを知ったので軟弱者の私はそれでBIND9を設定しました。めでたしめでたし。

滑らかな曲線をベジエ曲線で近似する

2件の返信

目次

ベジエ曲線とは

ベジエ曲線とはWikipedia(英語版)によると(本当はちゃんとした文献を当たるべきなのだろうが)、\(n+1\) 個の点 \(x_0, x_1, \dots, x_n\) が与えられた時に\[
B(t)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}t^i(1-t)^{n-i}x_i, \quad 0\le t\le 1
\]で定まる曲線らしい。始点 (\(t=0\)) は \(x_0\)、終点(\(t=1\))は \(x_n\) である。\(n\) のことを次数という。

(1次の場合は単なる線分なので置いておいて)よく使われるのは2次の場合と3次の場合である。それぞれ\begin{align*}
\mathit{quadratic B\acute{e}zier}(t)&=(1-t)^2x_0+2t(1-t)x_1+t^2x_2, \\
\mathit{cubic B\acute{e}zier}(t)&=(1-t)^3x_0+3t(1-t)^2x_1+3t^2(1-t)x_2+t^3x_3
\end{align*}で与えられる。

2次の場合は始点 \(x_0\) と終点 \(x_2\) の他に1個の制御点 \(x_1\)、3次の場合は始点 \(x_0\)、終点 \(x_3\) の他に2個の制御点 \(x_1\), \(x_2\) によって決まる。制御点は始点及び終点における接線を与えるためにある。ここではベジエ曲線についてはこれ以上突っ込んだ事は取り扱わない。

こういう、「制御点を与えて曲線を描く」のは、ドロー系の描画ソフトウエアを使ったことのある方はおなじみだろう。SVGやPostScriptなどのベクター画像形式でも、ベジエ曲線は基本的な描画対象である。

プログラミングに関して言うと、大抵のグラフィックAPIには2次か3次のベジエ曲線を描画するAPIがある。例えば、HTML5 Canvasの場合は

context.quadraticCurveTo(cpx, cpy, x, y) /* 2次 */
context.bezierCurveTo(cp1x, cp1y, cp2x, cp2y, x, y) /* 3次 */

というAPIがあり、Cocoaの場合は

NSBezierPath
-(void)curveToPoint:(NSPoint)aPoint controlPoint1:(NSPoint1) controlPoint2:(NSPoint)controlPoint2 /* 3次 */

というAPIがある。いずれも始点を指定する引数がないが、これらのAPIを使った時の始点は「現在の点の位置」になる。つまり、最後の描画操作における終点か、あるいはmoveToなどのAPIを使って指定した点である。

滑らかな曲線をベジエ曲線で近似する

さて、滑らかな曲線 \(f\colon[0,1]\to\mathbf{R}^2\) をベジエ曲線で近似するということを考えよう。動機としては例えば、プログラミングで曲線を描きたい時に、大抵のグラフィックスAPIには任意の曲線を描画するようなAPIはないので(2次か3次の)ベジエ曲線を使って近似する事になる。2次か3次と書いたが、以後3次のベジエ曲線で近似する事を考える。

続きを読む →

八元数について

2件の返信

最近、八元数を勉強しなければならないという電波を受信したので、とりあえず八元数のさわりだけ勉強する事にした。

複素数をさらに拡張したような数の体系として、八元数の前に四元数がある。四元数は3次元や4次元の回転（特殊直交行列; \(SO(3)\),\(SO(4)\)）と深い関わりがあるので、以前から（高校生の頃に）勉強して知っていた。四元数の積はノルムを保つため、単位四元数の積によって3次元球面 \(S^3\) にリー群の構造が入る。

八元数も、積がノルムを保つように定義されている。しかし積が結合的ではないため、群にはならない。いまいち勉強するモチベーションが起こらなかったのもその辺に理由がある気がする。

今参照している本はJohn H. ConwayとDerek A. SmithのOn Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetryという本である。

複素数は1個(\(i\))、四元数は3個(\(i,j,k\))の直交する虚数単位があったが、八元数にはそれが7個ある。それを \(i_0,\dots,i_6\) で表す事にしよう。これに、「実数方向」の基底 \(1\) を加えると、八元数の \(\mathbf{R}\) 上線形空間としての基底 \(1,i_0,\dots,i_6\) ができる。

この基底を使うと、任意の八元数 \(x\) は次のように書ける:\[x=x_\infty+x_0i_0+x_1i_1+x_2i_2+x_3i_3+x_4i_4+x_5i_5+x_6i_6\]ただし、\(x_*\) は実数である。ノルムは普通の実数のノルム\[\left\lVert x\right\rVert^2=x_\infty^2+\sum_{n=0}^6 x_n^2\]とする。八元数の乗法をうまいこと定めてやると、2つの八元数 \(x\),\(y\) の積がノルムを保つ\[\left\lVert x\cdot y\right\rVert=\left\lVert x\right\rVert\cdot\left\lVert y\right\rVert\]ようにできる。どう定めるかというと、1以外の基底 \(i_n\) について\begin{align*}
i_n^2&=-1, \\
i_{n+1}i_{n+2}&=i_{n+4}=-i_{n+2}i_{n+1}, \\
i_{n+2}i_{n+4}&=i_{n+1}=-i_{n+4}i_{n+2}, \\
i_{n+4}i_{n+1}&=i_{n+2}=-i_{n+1}i_{n+4}
\end{align*}となるようにするらしい。ここで、\(n\) は整数を動き、添字は0から6に収まるように適宜 mod 7 で考える。

ということなのだが、この積の定義で本当にいいのか？本の記述を読み違えたとかいう可能性はないか？不安なので、積がノルムを保存することを確かめることにしよう。

続きを読む →