「数学」カテゴリーアーカイブ

一次分数変換と球面の回転の話(0)

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\(\require{AMScd}\def\Real{\mathbf{R}}\def\Complex{\mathbf{C}}\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}\)次の形をした複素関数 \(f\) を一次分数変換という:\[
f(z)=\frac{az+b}{cz+d},\quad \text{ただし \(ad-bc\ne0\).}
\]分母が0になるとき（\(z=-d/c\) のとき）は \(f(z)\) の値は複素数としては定まらない、のだが、値が複素数であることにこだわらなければここは \(\infty\) としておくのが都合がいい。逆に、\(z=\infty\) のときは、（\(z\to\infty\) の極限を考えれば分かるように）\(f(z)\) の値は \(a/c\) として定義できそうである。何がいいたいかと言うと、一次分数変換は、複素平面の関数というよりは、複素平面に「無限遠点」を加えたもの \(\Complex\cup\{\infty\}\) の関数をみるのが自然である。

複素平面に無限遠点を加えたもの \(\Complex\cup\{\infty\}\) は、球面と同一視できる（こうやって同一視したものをリーマン球面という）。球面上の点 \(P\) に複素平面の点 \(z\) をどう対応させるかというと、球の北極 \((0,0,1)\) から \(P\) に直線を引いて、その直線が複素平面と交わる点 \(z\) を対応させる。逆に、複素平面の点 \(z\) に対しては、\(z\) と北極 \((0,0,1)\) を結ぶ直線を引いて、それが球面と交わる（北極じゃない方の）点 \(P\) を対応させる。北極に対応する点は複素平面上にはないので、北極には無限遠点 \(\infty\) を対応させる。この対応を立体射影(stereographic projection)という。
projection-fig
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SO(2) と SO(3) が弧状連結であることの簡便な（？）証明

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\(\def\Real{\mathbf{R}}\def\Complex{\mathbf{C}}\newcommand{\ip}[2]{\left\langle #1,#2\right\rangle}\newcommand{\vect}[1]{#1}\def\Ker{\operatorname{Ker}}\newcommand{\restrict}[2]{\left.#1\right\rvert_{#2}}\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^T}\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}\)特殊直交群 \(SO(n)\) が（弧状）連結であることを示すのはこの記事に書いたやり方がおそらく正攻法なのだろうが、次元が低い時はもっと短い議論でできるんじゃないかなあと思った。

命題. \(SO(2)\) の元 \(A\) は次の形に書ける。\[
A=\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta \\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
\]
証明. \(A\) を成分表示して \(SO(2)\) の条件の式に代入してガリガリ計算すればわかる。
定理. \(SO(2)\) は弧状連結である。
証明. さっきの命題を使えば簡単。

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SU(n) と SO(n) が弧状連結であることの証明

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\(\def\Real{\mathbf{R}}\def\Complex{\mathbf{C}}\newcommand{\ip}[2]{\left\langle #1,#2\right\rangle}\newcommand{\vect}[1]{#1}\def\Ker{\operatorname{Ker}}\newcommand{\restrict}[2]{\left.#1\right\rvert_{#2}}\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^T}\)特殊ユニタリ群 \(SU(n)\) や特殊直交群 \(SO(n)\) が（弧状）連結であることは当たり前のようにバンバン使うけど自分でそらで証明できるか怪しいなあと思ったので、証明をつけてみることにした。
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R^3のベクトル積とso(3)のメモ

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今回は \(\mathbf{R}^3\) のベクトル積とか回転行列とかに関する覚え書き。割と初等的。大学2年ぐらいのレベルだろうか。オチはない。

定義とか

3次の実正方行列全体の集合を \(M(3,\mathbf{R})\) で表す。3次の特殊直交群 \(SO(3)\) を\[
SO(3)=\{A\in M(3,\mathbf{R})\mid\det A=1,~{}^tAA=I\}
\]で定める。特殊直交群の元はいわゆる回転を表す行列である。

3次の交代行列全体の集合を \(\mathfrak{so}(3)\) で表す。\(\mathfrak{so}\) は小文字のsoをフラクトゥールで書いたものである。\[
\mathfrak{so}(3)=\{X\in M(3,\mathbf{R})\mid X+{}^tX=0\}
\]\(\mathfrak{so}(3)\) は3次元の実線形空間であり、\begin{align*}
E_1&=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},&
E_2&=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},&
E_3&=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
\end{align*}は一組の基底となっている。\(\mathfrak{so}(3)\) の元 \(X\in\mathfrak{so}(3)\) は実数 \(a,b,c\in\mathbf{R}\) により\[
X=\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\end{pmatrix}=aE_1+bE_2+cE_3
\]と書ける。

ベクトル積

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学園祭で来場者に複素関数を教えた話

11月22日から24日にかけて行われた東京大学駒場キャンパスでの第65回駒場祭で、数学科有志による「ますらぼ」企画(@UTmathlabo)に参加していました。「ますらぼ」では、数学科生・院生による発表、我々で作った冊子の配布、それから数学に関する展示が行われていました。

私は、かねてから作っていた複素関数を視覚化するWebアプリケーション “Conformality” に関する記事を書いたり、展示をしたりしていました。

冊子には、いくつかの複素関数の例・解説と、Webアプリの舞台裏に関する記事を書きました。一方、展示では、いくつかの複素関数の例・解説をポスター（というほどの紙の大きさでもない）で貼ったのと、パソコンとタブレットを用意して実際にWebアプリを動かしながら解説するのをやりました。

来場者に解説するとき、聞き手のレベルに合わせて話して、分かってもらうのは楽しかったです。実際どのぐらい理解してもらえたかは不明ですが…。あと、ふだんあまり喋らないので声が枯れました。

具体的に、レベルに応じてどんな内容を話したかというと、

小学生（！）

  • そもそも0や負の数はまだ習っていないので、まずはそこから。
  • 複素数の足し算が平行移動になることを説明できれば十分すぎるだろう。

中学生

  • 実数はOK。「数直線の数」みたいな感じ。
  • 複素数を紹介。いずれ高校で習うよ、ということで。
  • 複素数のかけ算ぐらいまでは解説しただろうか？
  • 「関数」としては \(y=ax^2\) ぐらいがいいとこだったかな？と思ったが、中学校では「関数」として「一次関数」というのが出てくるのを失念していた。

高校生

  • 現行の学習指導要領では数学IIIで複素数平面を扱う。複素数自体は、もっと前の2次方程式関連のところで出てくるはず。（高校では「複素数平面」というようだが、数学が専門の人は普通は「複素平面」と言う。私のような面倒くさがりな人には1文字少ないのはでかい）
  • 学年としては、3年生は複素数平面知っているはず。2年生の11月では複素数平面をやっている学校があるかないか、という感じ。聞いてみたところ「明日（火曜日）から複素数平面の単元に入る」という人もいた。
  • 事前に書店などに出向いて数学IIIの参考書を立ち読みしたところ、高校で扱うのは（今回関係ありそうなのは）複素数のかけ算の図形的な意味やド・モアブルの定理がせいぜいだということが分かった。
  • 今は高校で行列を教えないので、一次分数変換と行列の関係を教えにくかった。
  • 高校では実数の指数関数や三角関数を習う。

大学生

  • 複素数や複素平面はまあ知っている（1、2年生や、文系の3、4年生も含めて）。
  • 理系の3、4年生には一次分数変換の円円対応や正則関数の等角性まで知っている人もいて話が早かった。

という感じでした。

教える関数としては、当初は一次分数変換が一番単純かなあと思いましたが、高校生を視野に入れるなら複素数のかけ算（拡大縮小と回転）からやった方が学習の役にも立つだろうと思って、冊子やポスターでは最初に複素数のかけ算の例を載せました。しかし、実際に人に教えるときはもっと初歩的な、複素数の足し算の幾何学的意味（平行移動）から始めたので、他人への解説の仕方というのは自分だけで考えてもわからないものだということを認識しました。

解説内容はそのうちこのブログかどこかに載せたいと思います（時間があれば）。

余談として、「ますらぼ」の教室では学内無線LANが使えないので、Webアプリケーションを動かすには工夫が必要でした。持ち込んだ機器は

  • MacBook
    • 解説の際の主力。
    • ペアレンタルコントロールを設定したアカウントでWebブラウザを動かした。
    • セキュリティースロットにワイヤーをつけて盗まれないようにした。6年半前にこのMacBookを買ってから初めてセキュリティースロットが活躍した。
  • Nexus 7
  • AirMac Express
    • Nexus 7とMacBookを同一ネットワークにつなげた。

で、MacでWebサーバーを動かしてWebアプリケーションを動かす感じにしました。URLは本来の “https://miz-ar.info/webapp/conformality/” で動いているように見せたかったので、MacBookとNexus 7で d-poppo.nazo.cc がMacBookのIPアドレスに解決されるようにしました。

ドメイン名に対して好き勝手なIPアドレスを割り当てるためには /etc/hosts をいじるのが手軽な方法だと思います。しかし、Androidの場合は /etc/hosts をいじるにはroot権限を取る必要があり、調べてみたところ思いの外危なそう＆面倒くさそうだなあと思ったので、代わりに手元でDNSサーバーを動かすことにしました。MacBookにはDNSサーバーのソフトウエア（BIND9）が搭載されていた（最新のOSXにはないらしい）のですが、駒場祭直前にBIND9の使い方なんて覚えられない…。と思っていたらWebminとかいう便利なツールがあることを知ったので軟弱者の私はそれでBIND9を設定しました。めでたしめでたし。

滑らかな曲線をベジエ曲線で近似する

2件の返信

目次

ベジエ曲線とは

ベジエ曲線とはWikipedia(英語版)によると(本当はちゃんとした文献を当たるべきなのだろうが)、\(n+1\) 個の点 \(x_0, x_1, \dots, x_n\) が与えられた時に\[
B(t)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}t^i(1-t)^{n-i}x_i, \quad 0\le t\le 1
\]で定まる曲線らしい。始点 (\(t=0\)) は \(x_0\)、終点(\(t=1\))は \(x_n\) である。\(n\) のことを次数という。

(1次の場合は単なる線分なので置いておいて)よく使われるのは2次の場合と3次の場合である。それぞれ\begin{align*}
\mathit{quadratic B\acute{e}zier}(t)&=(1-t)^2x_0+2t(1-t)x_1+t^2x_2, \\
\mathit{cubic B\acute{e}zier}(t)&=(1-t)^3x_0+3t(1-t)^2x_1+3t^2(1-t)x_2+t^3x_3
\end{align*}で与えられる。

2次の場合は始点 \(x_0\) と終点 \(x_2\) の他に1個の制御点 \(x_1\)、3次の場合は始点 \(x_0\)、終点 \(x_3\) の他に2個の制御点 \(x_1\), \(x_2\) によって決まる。制御点は始点及び終点における接線を与えるためにある。ここではベジエ曲線についてはこれ以上突っ込んだ事は取り扱わない。

こういう、「制御点を与えて曲線を描く」のは、ドロー系の描画ソフトウエアを使ったことのある方はおなじみだろう。SVGやPostScriptなどのベクター画像形式でも、ベジエ曲線は基本的な描画対象である。

プログラミングに関して言うと、大抵のグラフィックAPIには2次か3次のベジエ曲線を描画するAPIがある。例えば、HTML5 Canvasの場合は

context.quadraticCurveTo(cpx, cpy, x, y) /* 2次 */
context.bezierCurveTo(cp1x, cp1y, cp2x, cp2y, x, y) /* 3次 */

というAPIがあり、Cocoaの場合は

NSBezierPath
-(void)curveToPoint:(NSPoint)aPoint controlPoint1:(NSPoint1) controlPoint2:(NSPoint)controlPoint2 /* 3次 */

というAPIがある。いずれも始点を指定する引数がないが、これらのAPIを使った時の始点は「現在の点の位置」になる。つまり、最後の描画操作における終点か、あるいはmoveToなどのAPIを使って指定した点である。

滑らかな曲線をベジエ曲線で近似する

さて、滑らかな曲線 \(f\colon[0,1]\to\mathbf{R}^2\) をベジエ曲線で近似するということを考えよう。動機としては例えば、プログラミングで曲線を描きたい時に、大抵のグラフィックスAPIには任意の曲線を描画するようなAPIはないので(2次か3次の)ベジエ曲線を使って近似する事になる。2次か3次と書いたが、以後3次のベジエ曲線で近似する事を考える。

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八元数について

2件の返信

最近、八元数を勉強しなければならないという電波を受信したので、とりあえず八元数のさわりだけ勉強する事にした。

複素数をさらに拡張したような数の体系として、八元数の前に四元数がある。四元数は3次元や4次元の回転（特殊直交行列; \(SO(3)\),\(SO(4)\)）と深い関わりがあるので、以前から（高校生の頃に）勉強して知っていた。四元数の積はノルムを保つため、単位四元数の積によって3次元球面 \(S^3\) にリー群の構造が入る。

八元数も、積がノルムを保つように定義されている。しかし積が結合的ではないため、群にはならない。いまいち勉強するモチベーションが起こらなかったのもその辺に理由がある気がする。

今参照している本はJohn H. ConwayとDerek A. SmithのOn Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetryという本である。

複素数は1個(\(i\))、四元数は3個(\(i,j,k\))の直交する虚数単位があったが、八元数にはそれが7個ある。それを \(i_0,\dots,i_6\) で表す事にしよう。これに、「実数方向」の基底 \(1\) を加えると、八元数の \(\mathbf{R}\) 上線形空間としての基底 \(1,i_0,\dots,i_6\) ができる。

この基底を使うと、任意の八元数 \(x\) は次のように書ける:\[x=x_\infty+x_0i_0+x_1i_1+x_2i_2+x_3i_3+x_4i_4+x_5i_5+x_6i_6\]ただし、\(x_*\) は実数である。ノルムは普通の実数のノルム\[\left\lVert x\right\rVert^2=x_\infty^2+\sum_{n=0}^6 x_n^2\]とする。八元数の乗法をうまいこと定めてやると、2つの八元数 \(x\),\(y\) の積がノルムを保つ\[\left\lVert x\cdot y\right\rVert=\left\lVert x\right\rVert\cdot\left\lVert y\right\rVert\]ようにできる。どう定めるかというと、1以外の基底 \(i_n\) について\begin{align*}
i_n^2&=-1, \\
i_{n+1}i_{n+2}&=i_{n+4}=-i_{n+2}i_{n+1}, \\
i_{n+2}i_{n+4}&=i_{n+1}=-i_{n+4}i_{n+2}, \\
i_{n+4}i_{n+1}&=i_{n+2}=-i_{n+1}i_{n+4}
\end{align*}となるようにするらしい。ここで、\(n\) は整数を動き、添字は0から6に収まるように適宜 mod 7 で考える。

ということなのだが、この積の定義で本当にいいのか？本の記述を読み違えたとかいう可能性はないか？不安なので、積がノルムを保存することを確かめることにしよう。

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ベクトル束のテンソル積

1件のフィードバック

ベクトル束のテンソル積には2種類ある。

一つ目。\(E\to M\), \(F\to N\) をそれぞれ \(K\)-ベクトル束とする。このとき、\[\bigsqcup_{(x,y)\in{M\times N}} {E_x\otimes F_y}\]は \(M\times N\) 上のベクトル束となる。底空間は直積 \(M\times N\) となる。

二つ目。\(E\to M\), \(F\to M\) をそれぞれ \(K\)-ベクトル束とする。一つ目の場合は底空間が異なる場合も許したが、ここでは底空間は同じものを考えることに注意しよう。このとき、\[\bigsqcup_{x\in M} {E_x\otimes F_x}\]は \(M\) 上のベクトル束となる。底空間は \(M\) のままである。

最初に読んだ本では二つ目のやつを \(E\otimes F\) で表していたが、今読んでいる本は一つ目のやつを \(E\otimes F\) と書いて、二つ目のやつは \(E\mathop{\hat{\otimes}}F\) で書いていた。これに気づかないで読み進めたためにひどい目にあった（ちゃんと注意して読めという話だが）。

個人的には、二つ目の方を \(\otimes\) で書くのがいいかなあと思うが（この分野の最近の傾向を知らないのでアレだが）、じゃあ一つ目のテンソル積を書く必要があるときはどうするの、という話だ。どうしよう。

Five LemmaのダイアグラムチェースをするWebページを作った

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最近、Webの標準技術であるSVGとMathMLを組み合わせて、Webページ上で数学の図式などを表現できないかと考えている。

このブログでもたまに図式や証明図を載せているが、今までのは画像として貼り付ける形だった。静的なコンテンツならこれでもいいのだが、JavaScriptを使ってインタラクティブなコンテンツを作ろうとした時に、画像では動的に内容を変えるというようなことがやりにくい。そこで考えられるのが、Web標準技術のSVGやMathMLといった、HTMLやJavaScriptと相性のいい技術を使って数学の図式を記述するということである。

SVGは基本的に図を記述する言語で、MathMLは数式を記述する言語だが、ブラウザが対応していれば、SVGの図の中にMathMLを埋め込むことは難しくない。だが、数式の幅、高さを見ながら図のレイアウトを決めてやるのは正直楽しい作業ではない。JavaScriptを使えば、ブラウザがレンダリングした数式の大きさを見て適切に位置を合わせるということができるだろう。また、JavaScriptを使えば、ユーザーのクリックに反応して数式を変えたり、色を変えたりできるだろう。

SVGは最近のブラウザならだいたい対応しているが、MathMLのブラウザ側の対応はまちまちである。Firefoxはかなり昔からMathMLに対応していた。Safariは最近対応したようだが、筆者はあまり触っていない。Chromeは、数年前に見聞きした話では対応する意思がないらしい。

という感じで、とりあえず作る時はFirefoxで表示させることを優先させる。Safariは余力があれば対応させたい。Chromeは知らん。

というわけで、そういうのを実験的に実装してみた。このページは、みなさんお世話になっているであろう圏論的な直積の図式を表現している。

直積の図式を表示てきたはいいものの、これは動きがない。ユーザーの操作によって表示が変わるようなものを作ろう。というわけで、Five Lemmaのダイアグラムチェースによる証明(真ん中の射がmonicであることを示す)をするページを作った。クリックするとダイアグラムチェースが進む。かなりやっつけな書き方をしているので、例えばAndroid上のFirefoxでは表示が崩れた。Safariでは文字が途切れる。JavaScriptのソースコードもかなり汚い。改善の余地は大きいだろう。

演算子オーバーロードのないJavaScriptであまり複雑なことをしても記述性が悪い。例えばHaskellのような言語で記述してJavaScriptにコンパイルするという手順を取ると良いのかもしれない。

The middle 3×3 lemma

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先週に続いて、Categories for the Working MathematicianのAbelian Categoriesの章で勉強している。

ExercisesのThe middle 3×3 lemmaを証明しようとしたのだが、どうにも証明できそうにない。Nine lemma 1問題文曰く、上の図式の全ての列、それに第一行と第三行が短完全列ならば第二行も短完全列であることを証明せよ、だそうだ。与えられた短完全列の両端に0を付加すると次の図式になる。
Nine lemma 2

手始めに、真ん中の行の2つの射を合成すると0となることを証明しようとしたが、どうにも方法が浮かばない。先週は勘違いでさんざん悩んだので、これはもしや成り立たないのではないか、と思って、調べてみることにした。（反例を考えるのは面倒くさかった）

手持ちの別の本を参照したところ、真ん中の行の2つの射を合成すると0となることは仮定しなければならないそうである。反例もあった。ググって出てきたnLabの項にも書かれていた。