先週に続いて、Categories for the Working MathematicianのAbelian Categoriesの章で勉強している。
ExercisesのThe middle 3×3 lemmaを証明しようとしたのだが、どうにも証明できそうにない。
問題文曰く、上の図式の全ての列、それに第一行と第三行が短完全列ならば第二行も短完全列であることを証明せよ、だそうだ。与えられた短完全列の両端に0を付加すると次の図式になる。
手始めに、真ん中の行の2つの射を合成すると0となることを証明しようとしたが、どうにも方法が浮かばない。先週は勘違いでさんざん悩んだので、これはもしや成り立たないのではないか、と思って、調べてみることにした。（反例を考えるのは面倒くさかった）
手持ちの別の本を参照したところ、真ん中の行の2つの射を合成すると0となることは仮定しなければならないそうである。反例もあった。ググって出てきたnLabの項にも書かれていた。
せっかく作ったブログをいつまでも放置するのもアレなので、最近勉強していることを書くことにする。
先学期の授業で登場したけど全然理解しないまま終わったホモロジーとかを理解したくて、どうせやるならと思ってアーベル圏の勉強をしている。本はCWMの、アーベル圏の章を進めている。
アーベル圏というのはどういう圏のことを言うのかというと、単純なものから順に定義を書いておくと
各 hom-set にアーベル群の構造が入っていて、射の合成が bilinear になっている圏を preadditive category という。CWMでは Ab-category と呼んでいる。
Kernel, cokernel や biproduct などの概念を定義することができる(kernel, cokernel は preadditive category でなくても、ゼロ射さえあれば定義できる)。
Preadditive category であって、ゼロ対象と biproduct (直和) をもっている圏を additive category という。
Additive category であって、全ての射が kernel と cokernel を持っていて、全ての monic 射が kernel であり、全ての epi 射が cokernel である圏を abelian category という。
Abelian category では、射の image や coimage の概念を定義することができる。また、完全列の概念も定義できる。
…という風になる。
アーベル圏で完全列を定義できるということは、five lemma とか snake lemma を定式化できるということである。この辺のレンマの証明は、CWMではアーベル圏の章のセクション4に書かれている。
このセクションの最初の方にアーベル圏 A の短完全列の圏 Ses A が加法圏であるとさらっと書かれているが、最初に読んだときに Ses A もアーベル圏なんだと勘違いして証明を考えるのに数週間費やしてしまった。おかげで図式の扱いには慣れた気がするし、短完全列の射のカーネル、コカーネルがどうなるのかという話はスネークレンマに繋がってくるとはいえ、とんだ時間の浪費だった。
アーベル圏を勉強する前は、授業などでこれらの補題の証明にいわゆる “diagram chase” を使っているのを見て（加群の圏上ではあったが）、
「元を取ってdiagram chaseなんてしたら圏論的な証明にならないのでは！？」
と思っていたが、蓋を開けてみたら、一般のアーベル圏上で「元」に相当する概念を定義して、その「元」に対して monic や epi がそれぞれ普通の単射、全射と同じような振る舞いをすることを証明し、five lemma や snake lemma などの補題の証明では元を取って証明していたのだった。もちろん、圏論的な証明であるから、「dual を取って証明の半分を省略する」というようなことはできる。
東大の後期課程や大学院に在籍する人は必ずお世話になるであろうUT-mateだが、その使い勝手はお世辞にも良いとは言えない。まず、ログイン画面でEnterキーを押してもログインできない。他にもいろいろある。
さて、世の中のWebブラウザには、ユーザー側でWebページの見た目とか使い勝手をいじくれるものがある。Firefoxの場合はGreasemonkeyという拡張機能をインストールすれば、そういう”user script”を導入できるようになる。つまり、Greasemonkeyを導入したFirefoxであれば、user scriptによってUT-mateのページを構成するHTMLとかをいじることができ、使い勝手を向上させられる可能性があるということだ。（他のブラウザは筆者はあまり使っていないのでこの記事では扱わない）
というわけで私が書いたuser scriptがこれ→Better UT-mate.user.jsになる。Greasemonkeyを導入済みであれば、このリンクをクリックすることでこのuser scriptをインストールできるはずだ。ソースを見れば分かる通り、至極簡単なスクリプトであって、怪しい動作はしない。
現在のところ、実装している機能は
である。気が向いたらさらに機能を追加するかもしれない。
【2015年9月3日】GitHubに公開。user scriptへのリンクをGitHubのものへと変更。