八元数について

最近、八元数を勉強しなければならないという電波を受信したので、とりあえず八元数のさわりだけ勉強する事にした。

複素数をさらに拡張したような数の体系として、八元数の前に四元数がある。四元数は3次元や4次元の回転(特殊直交行列; \(SO(3)\),\(SO(4)\))と深い関わりがあるので、以前から(高校生の頃に)勉強して知っていた。四元数の積はノルムを保つため、単位四元数の積によって3次元球面 \(S^3\) にリー群の構造が入る。

八元数も、積がノルムを保つように定義されている。しかし積が結合的ではないため、群にはならない。いまいち勉強するモチベーションが起こらなかったのもその辺に理由がある気がする。

今参照している本はJohn H. ConwayとDerek A. SmithのOn Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetryという本である。

複素数は1個(\(i\))、四元数は3個(\(i,j,k\))の直交する虚数単位があったが、八元数にはそれが7個ある。それを \(i_0,\dots,i_6\) で表す事にしよう。これに、「実数方向」の基底 \(1\) を加えると、八元数の \(\mathbf{R}\) 上線形空間としての基底 \(1,i_0,\dots,i_6\) ができる。

この基底を使うと、任意の八元数 \(x\) は次のように書ける:\[x=x_\infty+x_0i_0+x_1i_1+x_2i_2+x_3i_3+x_4i_4+x_5i_5+x_6i_6\]ただし、\(x_*\) は実数である。ノルムは普通の実数のノルム\[\left\lVert x\right\rVert^2=x_\infty^2+\sum_{n=0}^6 x_n^2\]とする。八元数の乗法をうまいこと定めてやると、2つの八元数 \(x\),\(y\) の積がノルムを保つ\[\left\lVert x\cdot y\right\rVert=\left\lVert x\right\rVert\cdot\left\lVert y\right\rVert\]ようにできる。どう定めるかというと、1以外の基底 \(i_n\) について\begin{align*}
i_n^2&=-1, \\
i_{n+1}i_{n+2}&=i_{n+4}=-i_{n+2}i_{n+1}, \\
i_{n+2}i_{n+4}&=i_{n+1}=-i_{n+4}i_{n+2}, \\
i_{n+4}i_{n+1}&=i_{n+2}=-i_{n+1}i_{n+4}
\end{align*}となるようにするらしい。ここで、\(n\) は整数を動き、添字は0から6に収まるように適宜 mod 7 で考える。

ということなのだが、この積の定義で本当にいいのか?本の記述を読み違えたとかいう可能性はないか?不安なので、積がノルムを保存することを確かめることにしよう。

二つの八元数 \(x\), \(y\) の成分表示を\begin{align*}
x&=x_\infty+x_0i_0+x_1i_1+x_2i_2+x_3i_3+x_4i_4+x_5i_5+x_6i_6, \\
y&=y_\infty+y_0i_0+y_1i_1+y_2i_2+y_3i_3+y_4i_4+y_5i_5+y_6i_6
\end{align*}としよう。これらの積は\begin{align*}
x\cdot y&=\left(x_\infty+\sum_{n=0}^6 x_ni_n\right)\left(y_\infty+\sum_{m=0}^6 y_mi_m\right) \\
&=x_\infty y_\infty+\sum_{n=0}^6 (x_\infty y_n+x_n y_\infty)+\sum_{n=0}^6 \sum_{m=0}^6 x_n y_m i_n i_m \\
&=x_\infty y_\infty+\sum_{n=0}^6 (x_\infty y_n+x_n y_\infty) \\
&\quad+\sum_{n=0}^6 \left(\begin{gathered}
x_n y_n i_n i_n+x_n y_{n+1} i_n i_{n+1}+x_n y_{n+2} i_n i_{n+2}+x_n y_{n+3} i_n i_{n+3} \\
+x_n y_{n+4} i_n i_{n+4}+x_n y_{n+5} i_n i_{n+5}+x_n y_{n+6} i_n i_{n+6}
\end{gathered}\right) \\
&=x_\infty y_\infty+\sum_{n=0}^6 (x_\infty y_n+x_n y_\infty)i_n \\
&\quad+\sum_{n=0}^6 \left(\begin{gathered}
-x_n y_n +x_n y_{n+1} i_{n+3}+x_n y_{n+2} i_{n+6}-x_n y_{n+3} i_{n+1} \\
+x_n y_{n+4} i_{n+5}-x_n y_{n+5} i_{n+4}-x_n y_{n+6} i_{n+2}
\end{gathered}\right) \\
&=x_\infty y_\infty-\sum_{n=0}^6 x_n y_n \\
&\quad+\sum_{n=0}^6 \left(\begin{gathered}
x_\infty y_n+x_n y_\infty+x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3} \\
-x_{n-1} y_{n+2}+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right)i_n
\end{align*}となる。後半で添字をいじって、8つの成分が分かりやすいようにした。なお、\(x\) や \(y\) の添字もやはり mod 7 で考える事にする。これのノルムを取ると\begin{align*}
\left\lVert x\cdot y\right\rVert^2&=\left(x_\infty y_\infty-\sum_{n=0}^6 x_n y_n\right)^2 \\
&\quad+\sum_{n=0}^6 \left(\begin{gathered}
x_\infty y_n+x_n y_\infty+x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3} \\
-x_{n-1} y_{n+2}+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right)^2
\end{align*}となる。これを頑張って展開して計算して\[\left(x_\infty^2+\sum_{n=0}^6 x_n^2\right)\left(y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 y_n^2\right)\]と一致する事を確かめれば良い。

というわけで地道に計算していこう。
\begin{align*}
\left\lVert x\cdot y\right\rVert^2&=\overbrace{\left(x_\infty y_\infty-\sum_{n=0}^6 x_n y_n\right)^2}^{\text{最初の項と残りの和に分けて展開}} \\
&\quad+\sum_{n=0}^6 \underbrace{\left(\begin{gathered}
x_\infty y_n+x_n y_\infty+x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3} \\
-x_{n-1} y_{n+2}+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right)^2}_{\text{最初の2項と残りに分けて展開}} \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2-2x_\infty y_\infty\sum_{n=0}^6 x_n y_n+\overbrace{\left(\sum_{n=0}^6 x_n y_n\right)^2}^{\sum\text{を2個使って表す}} \\
&\quad+\sum_{n=0}^6 \left(\begin{gathered}
\overbrace{(x_\infty y_n+x_n y_\infty)^2}^{\sum\text{の外に出す}} \\
+2(x_\infty y_n+x_n y_\infty)\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right) \\
+\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right)^2
\end{gathered}\right) \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2-2x_\infty y_\infty\sum_{n=0}^6 x_n y_n+\sum_{n=0}^6 \overbrace{(x_\infty y_n+x_n y_\infty)^2}^{\text{展開}}+\sum_{n=0}^6 \sum_{m=0}^6 x_n x_m y_n y_m \\
&\quad+\sum_{n=0}^6
\underbrace{2(x_\infty y_n+x_n y_\infty)}_{x_\infty\text{と}y_\infty\text{を外に出す}}\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right) \\
&\qquad+\sum_{n=0}^6\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right)^2 \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2-\underbrace{2x_\infty y_\infty\sum_{n=0}^6 x_n y_n}_{\text{右の項と打ち消す}}+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+\underbrace{2x_\infty x_n y_n y_\infty}_{\text{左の項と打ち消す}}+x_n^2 y_\infty^2)+\sum_{n=0}^6 \sum_{m=0}^6 x_n x_m y_n y_m \\
&\quad+2x_\infty \sum_{n=0}^6
y_n\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right) \\
&\quad+2y_\infty \sum_{n=0}^6
x_n \left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right) \\
&\qquad+\sum_{n=0}^6\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right)^2 \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2)+\sum_{n=0}^6 \sum_{m=0}^6 x_n x_m y_n y_m \\
&\quad+2x_\infty \sum_{n=0}^6
\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2} y_n+x_{n+1} y_n y_{n+3}-x_{n-1} y_n y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1} y_n-x_{n+3} y_n y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3} y_n
\end{gathered}\right) \quad\cdots\quad \clubsuit \\
&\quad+2y_\infty \sum_{n=0}^6
\left(\begin{gathered}
x_{n-3} x_n y_{n-2}+x_n x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} x_n y_{n+2} \\
+x_n x_{n+2} y_{n-1}-x_n x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} x_n y_{n-3}
\end{gathered}\right) \quad\cdots\quad \spadesuit \\
&\qquad+\sum_{n=0}^6\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right)^2 \\
&=(\heartsuit)
\end{align*}
ここで、\[\sum_{n=0}^6
\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2} y_n+x_{n+1} y_n y_{n+3}-x_{n-1} y_n y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1} y_n-x_{n+3} y_n y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3} y_n
\end{gathered}\right) \quad\cdots\quad \clubsuit\]を考えると、\begin{align*}
&\sum_{n=0}^6
\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2} y_n+x_{n+1} y_n y_{n+3}-x_{n-1} y_n y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1} y_n-x_{n+3} y_n y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3} y_n
\end{gathered}\right) \\
=&\sum_{n=0}^6 x_{n-3} y_{n-2} y_n+\sum_{n=0}^6 x_{n+1} y_n y_{n+3}-\sum_{n=0}^6 x_{n-1} y_n y_{n+2} \\
&\quad+\sum_{n=0}^6 x_{n+2} y_{n-1} y_n-\sum_{n=0}^6 x_{n+3} y_n y_{n+1}-\sum_{n=0}^6 x_{n-2} y_{n-3} y_n \\
&\quad\downarrow\text{(添字を付け替える)} \\
=&\underbrace{\sum_{n=0}^6 x_n y_{n+1} y_{n+3}}_{\flat\text{と打ち消す}}+\underbrace{\sum_{n=0}^6 x_n y_{n-1} y_{n+2}}_{\natural\text{と打ち消す}}-\underbrace{\sum_{n=0}^6 x_n y_{n+1} y_{n+3}}_{\flat\text{と打ち消す}} \\
&\quad+\underbrace{\sum_{n=0}^6 x_n y_{n-3} y_{n-2}}_{\sharp\text{と打ち消す}}-\underbrace{\sum_{n=0}^6 x_n y_{n-3} y_{n-2}}_{\sharp\text{と打ち消す}}-\underbrace{\sum_{n=0}^6 x_n y_{n-1} y_{n+2}}_{\natural\text{と打ち消す}} \\
=&0
\end{align*}
となる。同様に、
\begin{align*}
&\sum_{n=0}^6
\left(\begin{gathered}
x_{n-3} x_n y_{n-2}+x_n x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} x_n y_{n+2} \\
+x_n x_{n+2} y_{n-1}-x_n x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} x_n y_{n-3}
\end{gathered}\right) \quad\cdots\quad \spadesuit \\
=&\sum_{n=0}^6
\left(\begin{gathered}
\underbrace{x_{n-3} x_n y_{n-2}}_{\flat\text{と打ち消す}}+\underbrace{x_n x_{n+1} y_{n+3}}_{\natural\text{と打ち消す}}-\underbrace{x_{n-1} x_n y_{n+2}}_{\natural\text{と打ち消す}} \\
+\underbrace{x_n x_{n+2} y_{n-1}}_{\sharp\text{と打ち消す}}-\underbrace{x_n x_{n+3} y_{n+1}}_{\flat\text{と打ち消す}}-\underbrace{x_{n-2} x_n y_{n-3}}_{\sharp\text{と打ち消す}}
\end{gathered}\right) \\
=&0
\end{align*}
となる。よって、続きを計算すると\begin{align*}
(\heartsuit)
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2)+\underbrace{\sum_{n=0}^6 \sum_{m=0}^6 x_n x_m y_n y_m}_{n=m\text{の項と}n\ne m\text{の項に分ける}} \\
&\quad+\sum_{n=0}^6\underbrace{\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}-x_{n-1} y_{n+2} \\
+x_{n+2} y_{n-1}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-2} y_{n-3}
\end{gathered}\right)^2}_{\text{並べ替え}} \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2+x_n^2 y_n^2)+\sum_{n=0}^6 \sum_{m\ne n} \underbrace{x_n x_m y_n y_m}_{m\text{と}n\text{の差に着目して添字を付け替える}} \\
&\quad+\sum_{n=0}^6\underbrace{\left(\begin{gathered}
x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}+x_{n+2} y_{n-1} \\
-x_{n-2} y_{n-3}-x_{n+3} y_{n+1}-x_{n-1} y_{n+2}
\end{gathered}\right)^2}_{\text{前半と後半に分けて展開}} \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2+x_n^2 y_n^2)+\sum_{n=0}^6 \underbrace{\sum_{m\ne 0} x_n x_{n+m} y_n y_{n+m}}_{\text{展開}} \\
&\quad+\sum_{n=0}^6\underbrace{\left\{\begin{gathered}
(x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}+x_{n+2} y_{n-1})^2
+(x_{n-2} y_{n-3}+x_{n+3} y_{n+1}+x_{n-1} y_{n+2})^2 \\
-2(x_{n-3} y_{n-2}+x_{n+1} y_{n+3}+x_{n+2} y_{n-1})
(x_{n-2} y_{n-3}+x_{n+3} y_{n+1}+x_{n-1} y_{n+2})
\end{gathered}\right\}}_{\text{気合いで頑張る}} \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2+x_n^2 y_n^2) \\
&\quad+\sum_{n=0}^6 (\underbrace{x_n x_{n-3} y_n y_{n-3}+x_n x_{n-2} y_n y_{n-2}+x_n x_{n-1} y_n y_{n-1}}_{\text{添字を付け替え}}+x_n x_{n+1} y_n y_{n+1}+x_n x_{n+2} y_n y_{n+2}+x_n x_{n+3} y_n y_{n+3}) \\
&\quad+\sum_{n=0}^6\left\{\begin{gathered}
\underbrace{x_{n-3}^2 y_{n-2}^2+x_{n+1}^2 y_{n+3}^2+x_{n+2}^2 y_{n-1}^2
+x_{n-2}^2 y_{n-3}^2+x_{n+3}^2 y_{n+1}^2+x_{n-1}^2 y_{n+2}^2}_{\text{ばらす}} \\
+2(x_{n-3} x_{n+1} y_{n-2} y_{n+3}
+x_{n-3} x_{n+2} y_{n-2} y_{n-1}
+x_{n+1} x_{n+2} y_{n+3} y_{n-1} \\
+x_{n-2} x_{n+3} y_{n-3} y_{n+1}
+x_{n-2} x_{n-1} y_{n-3} y_{n+2}
+x_{n+3} x_{n-1} y_{n+1} y_{n+2}) \\
-2(x_{n-3} x_{n-2} y_{n-2} y_{n-3}+x_{n-3} x_{n+3} y_{n-2} y_{n+1}+x_{n-3} x_{n-1} y_{n-2} y_{n+2} \\
+x_{n+1} x_{n-2} y_{n+3} y_{n-3}+x_{n+1} x_{n+3} y_{n+3} y_{n+1}+x_{n+1} x_{n-1} y_{n+3} y_{n+2} \\
+x_{n+2} x_{n-2} y_{n-3} y_{n-1}+x_{n+2} x_{n+3} y_{n-1} y_{n+1}+x_{n+2} x_{n-1} y_{n+2} y_{n-1})
\end{gathered}\right\} \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2+x_n^2 y_n^2)+2\sum_{n=0}^6 (\underbrace{x_n x_{n+1} y_n y_{n+1}}_{\flat\text{と打ち消す}}+\underbrace{x_n x_{n+2} y_n y_{n+2}}_{\natural\text{と打ち消す}}+\underbrace{x_n x_{n+3} y_n y_{n+3}}_{\sharp\text{と打ち消す}}) \\
&\quad+\sum_{n=0}^6
\underbrace{(x_{n-3}^2 y_{n-2}^2+x_{n+1}^2 y_{n+3}^2+x_{n+2}^2 y_{n-1}^2
+x_{n-2}^2 y_{n-3}^2+x_{n+3}^2 y_{n+1}^2+x_{n-1}^2 y_{n+2}^2)}_{\text{添字を付け替える}} \\
&\quad+2\sum_{n=0}^6\left\{\begin{gathered}
(x_{n-3} x_{n+1} y_{n-2} y_{n+3}
+x_{n-3} x_{n+2} y_{n-2} y_{n-1}
+x_{n+1} x_{n+2} y_{n+3} y_{n-1} \\
+x_{n-2} x_{n+3} y_{n-3} y_{n+1}
+x_{n-2} x_{n-1} y_{n-3} y_{n+2}
+x_{n+3} x_{n-1} y_{n+1} y_{n+2}) \\
-(\underbrace{x_{n-3} x_{n-2} y_{n-2} y_{n-3}}_{\flat\text{と打ち消す}}+x_{n-3} x_{n+3} y_{n-2} y_{n+1}+x_{n-3} x_{n-1} y_{n-2} y_{n+2} \\
+x_{n+1} x_{n-2} y_{n+3} y_{n-3}+\underbrace{x_{n+1} x_{n+3} y_{n+3} y_{n+1}}_{\natural\text{と打ち消す}}+x_{n+1} x_{n-1} y_{n+3} y_{n+2} \\
+x_{n+2} x_{n-2} y_{n-3} y_{n-1}+x_{n+2} x_{n+3} y_{n-1} y_{n+1}+\underbrace{x_{n+2} x_{n-1} y_{n+2} y_{n-1}}_{\sharp\text{と打ち消す}})
\end{gathered}\right\} \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2+x_n^2 y_n^2)
+\sum_{n=0}^6
(x_n^2 y_{n+1}^2+x_n^2 y_{n+2}^2+x_n^2 y_{n-3}^2
+x_n^2 y_{n-1}^2+x_n^2 y_{n-2}^2+x_n^2 y_{n+3}^2) \\
&\quad+2\sum_{n=0}^6\left\{\begin{gathered}
(\underbrace{x_{n-3} x_{n+1} y_{n-2} y_{n+3}}_{\heartsuit\text{と打ち消す}}
+\underbrace{x_{n-3} x_{n+2} y_{n-2} y_{n-1}}_{\diamondsuit\text{と打ち消す}}
+\underbrace{x_{n+1} x_{n+2} y_{n+3} y_{n-1}}_{\spadesuit\text{と打ち消す}} \\
+x_{n-2} x_{n+3} y_{n-3} y_{n+1}
+x_{n-2} x_{n-1} y_{n-3} y_{n+2}
+x_{n+3} x_{n-1} y_{n+1} y_{n+2}) \\
-(\underbrace{x_{n-3} x_{n+3} y_{n-2} y_{n+1}}_{\spadesuit\text{と打ち消す}}+x_{n-3} x_{n-1} y_{n-2} y_{n+2}+x_{n+1} x_{n-2} y_{n+3} y_{n-3} \\
+\underbrace{x_{n+1} x_{n-1} y_{n+3} y_{n+2}}_{\diamondsuit\text{と打ち消す}}+\underbrace{x_{n+2} x_{n-2} y_{n-3} y_{n-1}}_{\heartsuit\text{と打ち消す}}+x_{n+2} x_{n+3} y_{n-1} y_{n+1})
\end{gathered}\right\} \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2)
+\sum_{n=0}^6
\underbrace{(x_n^2 y_n^2+x_n^2 y_{n+1}^2+x_n^2 y_{n+2}^2+x_n^2 y_{n-3}^2
+x_n^2 y_{n-1}^2+x_n^2 y_{n-2}^2+x_n^2 y_{n+3}^2)}_{x_n^2\text{でくくる}} \\
&\quad+2\sum_{n=0}^6\left\{\begin{gathered}
(\underbrace{x_{n-2} x_{n+3} y_{n-3} y_{n+1}}_{\clubsuit\text{と打ち消す}}
+\underbrace{x_{n-2} x_{n-1} y_{n-3} y_{n+2}}_{\heartsuit\diamondsuit\text{と打ち消す}}
+\underbrace{x_{n+3} x_{n-1} y_{n+1} y_{n+2}}_{\spadesuit\clubsuit\text{と打ち消す}}) \\
-(\underbrace{x_{n-3} x_{n-1} y_{n-2} y_{n+2}}_{\clubsuit\text{と打ち消す}}+\underbrace{x_{n+1} x_{n-2} y_{n+3} y_{n-3}}_{\spadesuit\clubsuit\text{と打ち消す}}
+\underbrace{x_{n+2} x_{n+3} y_{n-1} y_{n+1}}_{\heartsuit\diamondsuit\text{と打ち消す}})
\end{gathered}\right\} \\
&=x_\infty^2 y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 (x_\infty^2 y_n^2+x_n^2 y_\infty^2)
+\sum_{n=0}^6 x_n^2 \sum_{m=0}^6 y_m^2 \\
&=\left(x_\infty^2+\sum_{n=0}^6 x_n^2\right) \left(y_\infty^2+\sum_{n=0}^6 y_n^2\right) \\
&=\left\lVert x\right\rVert^2\cdot\left\lVert y\right\rVert^2
\end{align*}
となり、無事に八元数の積がノルムを保つ事 \(\left\lVert x\cdot y\right\rVert=\left\lVert x\right\rVert\cdot\left\lVert y\right\rVert\) を示せた。

ここでは力任せに愚直な計算をしたが、まあ一回ぐらいやっておいてもいいだろう。二度目はないが。

八元数についてのさらなる勉強はまたいずれ…。

(なんで「本の記述を読み違えたとかいう可能性はないか?」と不安になったかというと、手元のConway & Smithの本に“the subscripts run modulo 2”とあって、それだとまったく意味不明だったからだ。それで、おそらく modulo 7 で考えればよいのだろうという予想を立てて、計算して確かめたわけだ。この記事を書き終わった今、ググったらこの本のerrataが出てきて、そこには modulo 2 は modulo 7 の間違いだったと書かれていた。本を手に取った段階でerrataを探しておくべきだったのだ。自分のような浅学者は本の記述の意味が通らないと思考停止してしまうから良くない。)


八元数について」への2件のフィードバック

  1. ukikagi

    “””
    Q: なぜわざわざプログラミング言語に関する証明をするのか?定義が正しければ、証明はたいてい退屈なのに。
    A: 定義はたいてい間違っている。
    -出典不詳
    “””
    『型システム入門 プログラミング言語と型の理論』 (a.k.a. TAPL) p.33

    面接対策(という名の現実逃避)に読んでたら、ちょうど良い文章を見つけたので。

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  2. ReturnTercel

    SO(4)は6次元だヽ(`Д´)ノ

    4次元の回転は八元数でやるらしいが、参考になるページが無い…(´゚д゚`)

    返信

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