前回まででは、1階の(偏)微分係数を考察した。今度は、高階の導関数の値(微分係数)も計算するように拡張しよう。簡単のため、1変数関数について考えることにする。

高階微分と演算、関数の合成との関係を見る。変数は $t$ とする。

2階微分の自動微分では、「値」「1階の微分係数」「2階の微分係数」の3つの値を保持する必要があるので、実装するには $\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ に適切な演算を入れれば良い。上の表の $f(t),f'(t),f^{\prime\prime}(t)$ を $\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ の成分で置き換えると、$\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ に入れるべき演算が分かる。すなわち、 $$\begin{align*} (x,x’,x^{\prime\prime})\pm(y,y’,y^{\prime\prime})&=(x\pm y,x’\pm y’,x^{\prime\prime}\pm y^{\prime\prime}) \\ (x,x’,x^{\prime\prime})\cdot(y,y’,y^{\prime\prime})&=(xy,x’y+xy’,x^{\prime\prime}y+2x’y’+xy^{\prime\prime}) \\ \frac{(x,x’,x^{\prime\prime})}{(y,y’,y^{\prime\prime})}&=\left(\frac{x}{y},\frac{x’}{y}-\frac{xy’}{y^2},\frac{x^{\prime\prime}}{y}-\frac{2x’y’}{y^2}-\frac{x’y^{\prime\prime}}{y^2}+\frac{2xy’^2}{y^3}\right), \end{align*}$$ $g\colon\mathbf{R}\to\mathbf{R}$(微分可能) に対し、 $$g_*((x,x’,x^{\prime\prime}))=(g(x),g'(x)x’,g^{\prime\prime}(x)x’^2+g'(x)x^{\prime\prime}),$$ $g\colon\mathbf{R}\times\mathbf{R}\to\mathbf{R}$(微分可能) に対し、 $$g_*((x,x’,x^{\prime\prime}),(y,y’,y^{\prime\prime}))=\left(\begin{array}{c}g(x,y), \qquad g_x(x,y)x’+g_y(x,y)y’, \\ g_{xx}(x,y)x’^2+2g_{xy}(x,y)x’y’+g_{yy}(x,y)y’^2+g_x(x,y)x^{\prime\prime}+g_y(x,y)y^{\prime\prime}\end{array}\right),$$
とすればよい。ただし、変数についている ${}^\prime$ は微分ではなく変数名の一部と考える。関数についている ${}^\prime$ や添字は微分の意である。

これを実際のプログラミング言語で実装するのは容易だろう。