ベクトル束のテンソル積には2種類ある。

一つ目。\(E\to M\), \(F\to N\) をそれぞれ \(K\)-ベクトル束とする。このとき、\[\bigsqcup_{(x,y)\in{M\times N}} {E_x\otimes F_y}\]は \(M\times N\) 上のベクトル束となる。底空間は直積 \(M\times N\) となる。

二つ目。\(E\to M\), \(F\to M\) をそれぞれ \(K\)-ベクトル束とする。一つ目の場合は底空間が異なる場合も許したが、ここでは底空間は同じものを考えることに注意しよう。このとき、\[\bigsqcup_{x\in M} {E_x\otimes F_x}\]は \(M\) 上のベクトル束となる。底空間は \(M\) のままである。

最初に読んだ本では二つ目のやつを \(E\otimes F\) で表していたが、今読んでいる本は一つ目のやつを \(E\otimes F\) と書いて、二つ目のやつは \(E\mathop{\hat{\otimes}}F\) で書いていた。これに気づかないで読み進めたためにひどい目にあった（ちゃんと注意して読めという話だが）。

個人的には、二つ目の方を \(\otimes\) で書くのがいいかなあと思うが（この分野の最近の傾向を知らないのでアレだが）、じゃあ一つ目のテンソル積を書く必要があるときはどうするの、という話だ。どうしよう。

Tweet