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Five LemmaのダイアグラムチェースをするWebページを作った

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最近、Webの標準技術であるSVGとMathMLを組み合わせて、Webページ上で数学の図式などを表現できないかと考えている。

このブログでもたまに図式や証明図を載せているが、今までのは画像として貼り付ける形だった。静的なコンテンツならこれでもいいのだが、JavaScriptを使ってインタラクティブなコンテンツを作ろうとした時に、画像では動的に内容を変えるというようなことがやりにくい。そこで考えられるのが、Web標準技術のSVGやMathMLといった、HTMLやJavaScriptと相性のいい技術を使って数学の図式を記述するということである。

SVGは基本的に図を記述する言語で、MathMLは数式を記述する言語だが、ブラウザが対応していれば、SVGの図の中にMathMLを埋め込むことは難しくない。だが、数式の幅、高さを見ながら図のレイアウトを決めてやるのは正直楽しい作業ではない。JavaScriptを使えば、ブラウザがレンダリングした数式の大きさを見て適切に位置を合わせるということができるだろう。また、JavaScriptを使えば、ユーザーのクリックに反応して数式を変えたり、色を変えたりできるだろう。

SVGは最近のブラウザならだいたい対応しているが、MathMLのブラウザ側の対応はまちまちである。Firefoxはかなり昔からMathMLに対応していた。Safariは最近対応したようだが、筆者はあまり触っていない。Chromeは、数年前に見聞きした話では対応する意思がないらしい。

という感じで、とりあえず作る時はFirefoxで表示させることを優先させる。Safariは余力があれば対応させたい。Chromeは知らん。

というわけで、そういうのを実験的に実装してみた。このページは、みなさんお世話になっているであろう圏論的な直積の図式を表現している。

直積の図式を表示てきたはいいものの、これは動きがない。ユーザーの操作によって表示が変わるようなものを作ろう。というわけで、Five Lemmaのダイアグラムチェースによる証明(真ん中の射がmonicであることを示す)をするページを作った。クリックするとダイアグラムチェースが進む。かなりやっつけな書き方をしているので、例えばAndroid上のFirefoxでは表示が崩れた。Safariでは文字が途切れる。JavaScriptのソースコードもかなり汚い。改善の余地は大きいだろう。

演算子オーバーロードのないJavaScriptであまり複雑なことをしても記述性が悪い。例えばHaskellのような言語で記述してJavaScriptにコンパイルするという手順を取ると良いのかもしれない。

The middle 3×3 lemma

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先週に続いて、Categories for the Working MathematicianのAbelian Categoriesの章で勉強している。

ExercisesのThe middle 3×3 lemmaを証明しようとしたのだが、どうにも証明できそうにない。Nine lemma 1問題文曰く、上の図式の全ての列、それに第一行と第三行が短完全列ならば第二行も短完全列であることを証明せよ、だそうだ。与えられた短完全列の両端に0を付加すると次の図式になる。
Nine lemma 2

手始めに、真ん中の行の2つの射を合成すると0となることを証明しようとしたが、どうにも方法が浮かばない。先週は勘違いでさんざん悩んだので、これはもしや成り立たないのではないか、と思って、調べてみることにした。（反例を考えるのは面倒くさかった）

手持ちの別の本を参照したところ、真ん中の行の2つの射を合成すると0となることは仮定しなければならないそうである。反例もあった。ググって出てきたnLabの項にも書かれていた。

アーベル圏を勉強している

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せっかく作ったブログをいつまでも放置するのもアレなので、最近勉強していることを書くことにする。

先学期の授業で登場したけど全然理解しないまま終わったホモロジーとかを理解したくて、どうせやるならと思ってアーベル圏の勉強をしている。本はCWMの、アーベル圏の章を進めている。

アーベル圏というのはどういう圏のことを言うのかというと、単純なものから順に定義を書いておくと

Preadditive category (前加法圏)

各 hom-set にアーベル群の構造が入っていて、射の合成が bilinear になっている圏を preadditive category という。CWMでは Ab-category と呼んでいる。

Kernel, cokernel や biproduct などの概念を定義することができる(kernel, cokernel は preadditive category でなくても、ゼロ射さえあれば定義できる)。

Additive category (加法圏)

Preadditive category であって、ゼロ対象と biproduct (直和) をもっている圏を additive category という。

Abelian category (アーベル圏)

Additive category であって、全ての射が kernel と cokernel を持っていて、全ての monic 射が kernel であり、全ての epi 射が cokernel である圏を abelian category という。

Abelian category では、射の image や coimage の概念を定義することができる。また、完全列の概念も定義できる。

…という風になる。

アーベル圏で完全列を定義できるということは、five lemma とか snake lemma を定式化できるということである。この辺のレンマの証明は、CWMではアーベル圏の章のセクション4に書かれている。

このセクションの最初の方にアーベル圏 A の短完全列の圏 Ses A が加法圏であるとさらっと書かれているが、最初に読んだときに Ses A もアーベル圏なんだと勘違いして証明を考えるのに数週間費やしてしまった。おかげで図式の扱いには慣れた気がするし、短完全列の射のカーネル、コカーネルがどうなるのかという話はスネークレンマに繋がってくるとはいえ、とんだ時間の浪費だった。

アーベル圏を勉強する前は、授業などでこれらの補題の証明にいわゆる “diagram chase” を使っているのを見て（加群の圏上ではあったが）、
「元を取ってdiagram chaseなんてしたら圏論的な証明にならないのでは！？」
と思っていたが、蓋を開けてみたら、一般のアーベル圏上で「元」に相当する概念を定義して、その「元」に対して monic や epi がそれぞれ普通の単射、全射と同じような振る舞いをすることを証明し、five lemma や snake lemma などの補題の証明では元を取って証明していたのだった。もちろん、圏論的な証明であるから、「dual を取って証明の半分を省略する」というようなことはできる。