The middle 3×3 lemma

先週に続いて、Categories for the Working MathematicianのAbelian Categoriesの章で勉強している。

ExercisesのThe middle 3×3 lemmaを証明しようとしたのだが、どうにも証明できそうにない。Nine lemma 1問題文曰く、上の図式の全ての列、それに第一行と第三行が短完全列ならば第二行も短完全列であることを証明せよ、だそうだ。与えられた短完全列の両端に0を付加すると次の図式になる。
Nine lemma 2

手始めに、真ん中の行の2つの射を合成すると0となることを証明しようとしたが、どうにも方法が浮かばない。先週は勘違いでさんざん悩んだので、これはもしや成り立たないのではないか、と思って、調べてみることにした。(反例を考えるのは面倒くさかった)

手持ちの別の本を参照したところ、真ん中の行の2つの射を合成すると0となることは仮定しなければならないそうである。反例もあった。ググって出てきたnLabの項にも書かれていた。


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