証明. [表示…]

証明. [隠す]

$n=1$ の場合: 自明。

$U(n-1)$ の元が対角化可能だと仮定して $A\in U(n)$ が対角化可能であることを示す。

$A$ と $A^*$ は共通の固有ベクトルをもつ(→証明)。それを $\vect{a}\in\Complex^n$ とする。

$\Complex^n$ を、$\vect{a}$ が張る $\Complex^n$ の部分空間 $\Complex\cdot\vect{a}$ とその直交補空間 $(\Complex\cdot\vect{a})^\bot$ に直和分解する。 $$\Complex^n=\Complex\cdot\vect{a}\oplus(\Complex\cdot\vect{a})^\bot$$

$A$ の $(\Complex\cdot\vect{a})^\bot$ への制限 $\restrict{A}{(\Complex\cdot\vect{a})^\bot}$ は $(\Complex\cdot\vect{a})^\bot$ のユニタリ変換を定める(→証明)。

$(\Complex\cdot\vect{a})^\bot$ は $\Complex^{n-1}$ と同型なので、 $\restrict{A}{(\Complex\cdot\vect{a})^\bot}$ について帰納法の仮定が使えて、 $\restrict{A}{(\Complex\cdot\vect{a})^\bot}$ は対角化できる。

$A$ の行列表示は $$A=\begin{pmatrix} \lambda&0\\ 0&\restrict{A}{(\Complex\cdot\vect{a})^\bot} \end{pmatrix}\colon\Complex\cdot\vect{a}\oplus(\Complex\cdot\vect{a})^\bot\rightarrow\Complex\cdot\vect{a}\oplus(\Complex\cdot\vect{a})^\bot$$ みたいな感じなので、$A$ も対角化できる。

ユニタリ行列で対角化できるというのは、上の行列表示で $\Complex\cdot\vect{a}\oplus(\Complex\cdot\vect{a})^\bot$ が直交補空間による直和分解ということに気をつければまあいいだろう。

証明. $A$ の固有値はすべて絶対値1の複素数である。$\theta_k\in\Real$ を使って、$A$ の固有値を $e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_n}$ と書く。$A$ の行列式は1なので、$\theta_1+\dots+\theta_n=0$ である。

ユニタリ行列 $P$ によって $A$ を $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} e^{i\theta_1}&&\\ &\ddots&\\ &&e^{i\theta_n} \end{pmatrix}$$ と対角化したとする。

$t\in[0,1]$ に対し $$F(t)=P\begin{pmatrix} e^{i\theta_1t}&&\\ &\ddots&\\ &&e^{i\theta_nt} \end{pmatrix}P^{-1}$$ とおくと、$F(t)\in SU(n)$ となる。$F$ がこの定理の主張にある連続写像であることは明らか。

証明. $A\in SO(n)$ の複素数の範囲での固有値と固有ベクトルを考える。$A$ はユニタリ行列でもあるので、$A$ の固有値の絶対値は1である。$A$ の固有多項式が実数係数であることを考えると、$A$ の実数でない固有値 $e^{i\theta}$ に対して $e^{-i\theta}$ も $A$ の固有値である。$A$ の実数でない固有値は重複を込めて $2m$ 個あるとする。

$A$ が実数の固有値を持つとしたら $\pm1$ である。$A$ の固有多項式の根 $-1$ の重複度を $p$，$1$ の重複度を $q$ とする。$A$ の行列式は1なので、$p$ は偶数である。

$A$ は複素数の範囲で対角化可能なので、$\Complex^n$ の正規直交基底 $$u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_m,w_1,\dots,w_p,x_1,\dots,x_q\in\Complex^n$$ であってそれぞれ $A$ の固有ベクトルであるようなものが取れる。固有値と固有ベクトルの関係は次のようにする。 $$\begin{gather*} Au_j=e^{i\theta_j}u_j,~Av_j=e^{-i\theta_j},\quad(1\le j\le m)\\ Aw_k=-w_k,~Ax_l=x_l\quad(1\le k\le p,~1\le l\le q) \end{gather*}$$ ここで、 $A$ が実行列ということを考えると、特に $v_j,w_k,x_l$ を $$v_j=\overline{u_j},\quad w_k\in\Real^n,\quad x_l\in\Real^n$$ となるように取れるので、以下そのように $v_j,w_k,x_l$ を取ったとする。

$1\le k\le m$ に対し、$e_{2k-1}$ と $e_{2k}$ を $$\begin{align*} e_{2k-1}&=\frac{u_k+v_k}{\sqrt{2}}, \\ e_{2k}&=\frac{i(u_k-v_k)}{\sqrt{2}} \end{align*}$$ とおく。このとき、 $$\begin{align*} Ae_{2k-1}&=\frac{Au_k+Av_k}{\sqrt{2}} =\frac{e^{i\theta_k}u_k+e^{-i\theta_k}v_k}{\sqrt{2}} \\ &=\frac{\cos\theta_k(u_k+v_k)+i\sin\theta_k(u_k-v_k)}{\sqrt{2}} \\ &=\cos\theta_k e_{2k-1}+\sin\theta_k e_{2k}, \\ Ae_{2k}&=i\frac{Au_k-Av_k}{\sqrt{2}} =i\frac{e^{i\theta_k}u_k-e^{-i\theta_k}v_k}{\sqrt{2}} \\ &=i\frac{\cos\theta_k(u_k-v_k)+i\sin\theta_k(u_k+v_k)}{\sqrt{2}} \\ &=-\sin\theta_k e_{2k-1}+\cos\theta_k e_{2k} \end{align*}$$ となる。また、$e_{2k-1},e_{2k}\in\Real^n$ である。

このとき、 $$e_1,\dots,e_{2m},w_1,\dots,w_p,x_1,\dots,x_q$$ は $\Real^n$ の正規直交基底であり、 $$P=\begin{pmatrix} e_1&\cdots&e_{2m}&w_1&\cdots&w_p&x_1&\cdots&x_q \end{pmatrix}\in O(n)$$ とおくと $$AP=P\begin{pmatrix} \cos\theta_1&-\sin\theta_1 \\ \sin\theta_1&\cos\theta_1 \\ &&\ddots \\ &&&\cos\theta_m&-\sin\theta_m \\ &&&\sin\theta_m&\cos\theta_m \\ &&&&&-I_p \\ &&&&&&I_q \end{pmatrix}$$ となる。

スペースの節約のために $$R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}$$ とおき、 $$m’=m+\frac{p}{2},\quad \theta_{m+1}=\dots=\theta_{m’}=\pi$$ とおけば、 $$AP=P\begin{pmatrix} R(\theta_1) \\ &\ddots \\ &&R(\theta_{m’}) \\ &&&I_q \end{pmatrix}$$ と書ける。

ここまで分かれば後は簡単で、$t\in[0,1]$ に対し $F(t)$ を $$F(t)=P\begin{pmatrix} R(t\theta_1) \\ &\ddots \\ &&R(t\theta_{m’}) \\ &&&I_q \end{pmatrix}P^{-1}$$ とおくとこれは $F(t)\in SO(n)$ となっていて、連続写像 $F\colon[0,1]\to SO(n)$ を定める。$F(0)=I_n,~F(1)=A$ は明らかなので、$F$ はこの定理が存在を主張する連続写像である。