プログラミング」カテゴリーアーカイブ

Idrisの有界な自然数で遊んでみる(1) — 証明をつける

前回:Idrisの有界な自然数で遊んでみる(0)

前回はIdrisで「有界な自然数の冪乗を計算する」finPower2 : Fin n -> Fin (power 2 n) という関数を実装したが、いくつか後回しにした証明があった。今回はIdrisの証明支援機能を使ってこれを埋める。

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Idrisの有界な自然数で遊んでみる(0)

プログラミング言語Idris自体についての詳しい話はここではしない。このブログの昔の記事で軽く紹介したかもしれないが他人の参考になるかは分からない。

この記事を読むにあたっては、

  • ペアノ算術

は知ってないと厳しいと思われる。あとHaskell風の言語にも慣れていた方がいいか。

この記事で使うIdrisのバージョンは0.9.16である(執筆時点の最新版)。これと異なるバージョンだとコードの修正が必要かもしれない。

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Union Typesは直和型ではない

【2017年12月18日 追記】この記事は古いTypeScript (2.0以前) を念頭に置いている。もちろん、現在のTypeScriptにも当てはまる記事はあるだろうし、TypeScript以外の言語における合併型 (union types) についてもある程度読み替えられるかもしれない。ただしElmとは “Union Types” の用法が完全に相入れないのでElmユーザーの方はお帰りください。


TypeScript 1.4について、 TypeScript 1.4.1 変更点 – Qiita という記事が目に留まった。で、その中の
直和型(Union Types)
という項目に引っかかりを感じた。:

なぜ引っかかりを感じたかというと、TypeScriptに今回導入されたUnion Typesと、巷に言う直和型というのは、異なる概念であるからだ。

注意:以下の話は型理論の専門家でもないフツーの学生が適当に書いた程度の信憑性しかありません。

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TypeScript 1.4がいい感じ

TypeScript 1.4がリリースされた。目玉機能としては Union Types とか ECMAScript 6 出力モードの搭載とかになるのだろうが、他にもいろいろ地味だが嬉しい機能追加などがあるようだった。

前にTypeScriptで組み込みオブジェクトを拡張できないというようなことを書いたが、そのとき感じた問題点が直っている。具体的には以下。

  • 各種組み込みオブジェクトのコンストラクタの型が interface ほにゃららConstructor というものに変更されている。よって、各種組み込みオブジェクトのコンストラクタに勝手なプロパティーを追加できる。
  • ECMAScript 6 で追加される関数の型定義が追加されている。つまり、自前で組み込みオブジェクトの型定義をいじらなくていい。(ECMAScript 6 出力モードで使えるようになるようだ)

あと地味に便利だと思ったのはコンパイラ tsc に追加された --noEmitOnError というオプションである。今まではソースコードが解釈さえできれば型チェックが通らなくても ECMAScript の出力が生成(!)されていて、Makefile で TypeScript のコードをコンパイルする時に不便だった。だが、このオプションがあれば型チェックが通ったコードしか出力されないので、Makefile との相性が上がる。

Rustから直接C++を叩いてみる

プログラミング言語Rustのα版が出たので遊んでみようかなという。(と言ってやってることはRustである必要性が全然ないけど)

ここで使っている環境はOS X 10.9.5 (アーキテクチャはx86_64)で、C++コンパイラはClangである。ここでやっているのは激しく環境依存なのだが、まあでもコンパイラがGCCかClangなら多くの環境で上手くいくんじゃないかと思う(知らん)。

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SVG pathの楕円を描くコマンドが使いにくい

SVGとはScalable Vector Graphicsの略で、2次元のベクター画像を記述するためのXMLベースの言語である。詳しくはググれ。

ベクター画像を構成する要素は、線分とか円とかベジエ曲線とかいろいろある。SVGでこれをどう表すかというと、例えば線分だとline要素を使い、円だとcircle要素を使う。SVGにはこの他にpath要素というものがあって、描画のコマンドを文字列で指定して複雑な曲線を描ける。線分とか円の弧のような単純なやつも描ける。

例を見てみると、

M 100 100 L 300 100 L 200 300 z

というコマンドを与えると、始点(100,100)から(300,100)に線分を描き、そこから続けて(200,300)に線分を描く。最後に、(200,300)から始点に線分を描いてパスを閉じる。この M とか L とか z とかいうのが描画コマンドで、それぞれ move to, line to, close path を意味する。2次元の描画を行うプログラムの経験がある人にはおなじみだろう。

描画コマンドには他にも2次あるいは3次のベジエ曲線を描くもの、楕円の弧を描くものがある。この楕円の弧を描くコマンド(A / a)が曲者で、楕円の指定方法が個性的だった。

このコマンドに与えるパラメーターは、楕円の形状に関する物が3つ、弧の終点(始点は current point を使うので、わざわざ指定する必要はない。指定したい場合は先に move to コマンドを実行する。)、そして、弧の端点と楕円の位置関係を指定するフラグが2つだ。楕円の中心は明示的に指定できない。

フラグが2つもある時点で嫌な予感がする。場合分けとか面倒くさそう。そんなことを感じながら、自前のSVGを出力するライブラリ(と言ったら大げさか)を実装・バグ取りしていたが、なぜか円全体が描けない。おかしい。と思ったが気が付いた。

始点と終点が一致していると、楕円の中心が一意に定まらない。つまり、SVG pathの A コマンドでは1回で楕円を描けない。SVGの楕円に類する物を描く描画コマンドは他にないのに…。

ググってみたら、Stack Overflowの質問を見つけた。
Circle drawing with SVG’s arc path – Stack Overflow
要するに、SVG pathで楕円全体を描くには、楕円の99.99%の弧を描いて満足するか、2個のコマンドで楕円を分割して描かないといけない。腐った仕様だ。

ちなみに、PostScriptの仕様をちらっと見た感じでは、PostScriptで円弧を描く arc コマンドは円の中心と半径、始点と終点の角度を指定する仕様だった。HTML5 Canvasの2D Contextも同様だ。(これらには楕円を描くコマンドはないが)

GIMPとゲームパッド on Linux

フリーのペイントソフト、GIMPをゲームパッドで操作したい。いわゆる「左手デバイス」とかいうの。まあ自分はそんなにお絵描きするわけじゃないんだけど。

ここの話はLinuxでの話で、WindowsとかOS Xとかは知らん。

手持ちのハードウエア

  • パソコン(自作のLinux機)
  • USBゲームパッド(エレコムのやつ)
  • ペンタブ(Wacom Bamboo CTH-661)(今回の主役ではない)PA250017

試した手順

1. メニューの「Edit > Preferences」を選択。

GIMP: Edit > Preferences

2. Preferences ダイアログの Input Devices > Input Controllers を選択

GIMP: Preferences > Input Controllers

3. Available Controllers の Linux Input を選択し、→ボタンで Active Controllers に追加。

GIMP: Configure Input Controller

4. Configure Input Controller ダイアログが出てくるので、Deviceとして PC Game Controller を選択。

GIMP: Configure Input Controller (PC Game Controller)これで、

  1. Grab eventをクリック
  2. ゲームパッドのボタンを押す
  3. Actionを割り当て

という感じでゲームパッドのボタンにGIMPの操作を割り当てることができる…と期待したがそうはいかなかった。ゲームパッドのボタンを押しても何も起こらない。Dump events…にチェックを入れてターミナルの出力を見ると、ボタンを押した事自体は認識されてはいるようだ。なぜだ。

GIMPのソースコードをいじる

しかたがないからGIMPのソースコードを見ていじくろう。GIMP Developer WikiHacking:Building/Linuxを参考にして、ソースコードをgitでチェックアウトする。

Linux Inputに対応するソースはどこだろう。gimp/modules/ が怪しい。見てみると、gimp/modules/controller-linux-input.c というソースファイルがある。これか。

ファイルの頭の方に static const LinuxInputEvent key_events[] という変数の定義がある。Configure Input Controllerダイアログに出てきたボタンの名前はこれか。ゲームパッドのキーを押したときにターミナルに出てくるログと、<linux/input.h> で定義されている定数の値を参考にしながら、BTN_*** に対応する定義を追加する。

差分としてはこんな感じになった。

diff --git a/modules/controller-linux-input.c b/modules/controller-linux-input.c
index 8759d10..de72332 100644
--- a/modules/controller-linux-input.c
+++ b/modules/controller-linux-input.c
@@ -81,8 +81,20 @@ static const LinuxInputEvent key_events[] =
{ BTN_GEAR_DOWN, "button-gear-down", N_("Button Gear Down") },
#endif
#ifdef BTN_GEAR_UP
-  { BTN_GEAR_UP,   "button-gear-up",   N_("Button Gear Up")   }
+  { BTN_GEAR_UP,   "button-gear-up",   N_("Button Gear Up")   },
#endif
+  { BTN_TRIGGER,   "button-trigger",   N_("Button Trigger")   },
+  { BTN_THUMB,     "button-thumb",     N_("Button Thumb")     },
+  { BTN_THUMB2,    "button-thumb2",    N_("Button Thumb 2")   },
+  { BTN_TOP,       "button-top",       N_("Button Top")       },
+  { BTN_TOP2,      "button-top2",      N_("Button Top 2")     },
+  { BTN_PINKIE,    "button-pinkie",    N_("Button Pinkie")    },
+  { BTN_BASE,      "button-base",      N_("Button Base")      },
+  { BTN_BASE2,     "button-base2",     N_("Button Base 2")    },
+  { BTN_BASE3,     "button-base3",     N_("Button Base 3")    },
+  { BTN_BASE4,     "button-base4",     N_("Button Base 4")    },
+  { BTN_BASE5,     "button-base5",     N_("Button Base 5")    },
+  { BTN_BASE6,     "button-base6",     N_("Button Base 6")    },
};

static const LinuxInputEvent rel_events[] =

あとは、さっきのWikiの手順にしたがってGIMPをビルドする。すると、さっきスクリーンショット付きで説明した手順で、ゲームパッドのボタンにGIMPの操作を割り当てることができる。

とりあえず気づいた点は、ボタンを押すときと離すときで2回操作が実行されるのと、ゲームパッドのボタンじゃなくて倒すやつには反応しないこと。既存のソースコードの見よう見まねじゃなくて、ちゃんと調べてコードを書かないといけない気がする。そもそもこのLinux Inputというやつはどのぐらい使われているんだろうか。これは意図した動作なのだろうか。

あと、自分の手持ちのゲームパッド1個で試したが、他のゲームパッドではどうなるのか。この辺の問題が解決したらパッチを投げるかもしれない。その前に開発コミュニティーの雰囲気とかつかんでおきたいが。パッチを投稿するにはBugzillaにBug(?)を登録してそれに添付する感じだろうか。この辺の手間を思うに、GitHubのPull Requestという仕組みは偉大だ。

ペンタブのパッド(ペンタブの感知するエリアの横についてるボタン)に対する操作も、Linux Inputで扱えそうな雰囲気を感じたが、Wacomのドライバと競合するのか知らないがなにかうまくいかない。

Cabal sandboxのメモ

Cabalを使ってHaskellのパッケージ管理をやっていると、依存関係がもつれて酷い事になる。あるプロジェクトで使うパッケージと別のプロジェクトで使うパッケージが干渉したりとかなんかそういうアレだ。こういう時はsandboxを使うと良いらしい。マニュアル

自分のプロジェクトのディレクトリで

$ cabal sandbox init

を実行すれば、新しいsandboxができる。何かパッケージを入れようと思ったら、そのディレクトリで普通に

$ cabal install ほげほげ

を実行すればそのパッケージはそのディレクトリに入る。

sandbox内のパッケージを使ってghciを起動したい場合は、

$ cabal repl

を使う。

sandbox内のパッケージを使ってghcやrunghcなどのコマンドを叩きたい場合は、1.20.0で追加された(?)execコマンドを使うといいようだ。

$ cabal exec ghc -- --make hogehoge.hs

この記事はcabal-install 1.21.0.0の時点の情報をテキトーに調べた結果を書いたので、もしかしたらもっと正しい使い方とかあるのかもしれないが、そんなもん知らん。

(9月21日: typoを修正)

TypeScriptで組み込みオブジェクトを拡張できない

最近、自分で書くWebアプリ、ブラウザアプリには、JavaScriptの代替言語としてTypeScriptを使っている。

TypeScriptの気に入っている点は、

  • 静的型がついているので、変数名のタイポのような、初歩的だけど実行してみないとわからない面倒なバグをコンパイル時に検出できる
  • 文法やセマンティクスがほぼJavaScriptの上位互換なので、すでにJavaScriptを習得している身としては学習コストが低い
  • JavaScriptの資産を活用しやすい
  • 標準の型定義に入っていないブラウザの拡張API等にも、自分で型定義を書けば利用できる

あたりである。逆に、不満があるとすれば

  • セマンティクスがJavaScriptに沿ったものなので、演算子オーバーロードのようなJavaSciptに1:1で翻訳できない機能が使えない
  • 型クラスとかがない
  • ECMAScript 6で導入される予定の、letや分割代入やジェネレーターなどの、言語の文法に対する拡張に対応していない(新しいラムダ式のような一部の機能は既に導入されているので、将来的には入るかもしれないが)

あたりであろうか。まあ不満があったら他のaltJSを使えばいい話だが。

[2015年1月18日 追記] 以下の内容はTypeScript 1.4のリリースに伴い古くなりました。詳しくはこちら

ECMAScript 6で導入されるライブラリ関数は、一部は型宣言を書いてやることでTypeScriptからも使えるようになる。例えば、前の記事で Math.hypotMath.sinh などの関数に触れたが、それらは[sourcecode lang=”js”]
interface Math {
hypot(…values: number[]): number;
sinh(x: number): number;
}
[/sourcecode]のような宣言を書いておけば、コンパイルが通るようになる。まだこれらの関数を実装していないブラウザ用に、polyfill(shim)も書いておくか、読み込むといいだろう。

このほか、例えば、Array.prototype.find の型宣言は[sourcecode lang=”js”]
interface Array<T> {
find(callback: (element: T, index: number, array: T[]) => boolean, thisArg?: any): T;
}
[/sourcecode]というふうにできる。

ここまではいい。

JavaScriptのイディオムとして、配列ライクなオブジェクトを変換するのに、Array.prototype.slice が使われる。もちろんこのイディオムはTypeScriptでも使えるが、Array.prototype の型は Array<any> となっているので、要素の型に対する型チェックや型推論が働いてくれない。幸い、ECMAScript 6では、Array.from という関数が導入される予定なので、こいつの型を[sourcecode lang=”js”]
from<T>(arrayLike: {[n: number]: T; length: number}): T[];
[/sourcecode]のように宣言してやれば型推論とかが効いて便利なはずだ。

だがしかし。組み込みの Array オブジェクトの型は標準の lib.d.ts において[sourcecode lang=”js”]
declare var Array: {
new (arrayLength?: number): any[];

prototype: Array<any>;
}
[/sourcecode]のように宣言されている。こいつに from メソッドを追加しようとして自分のコードで[sourcecode lang=”js”]
declare var Array: {
from<T>(arrayLike: {[n: number]: T; length: number}): T[];
}
[/sourcecode]と書くとエラーが出る。既存のメソッドも書かないとダメかと思って[sourcecode lang=”js”]
declare var Array: {
new (arrayLength?: number): any[];

prototype: Array<any>;
from<T>(arrayLike: {[n: number]: T; length: number}): T[];
}
[/sourcecode]と書いてもエラーになる。モジュールならばどうかと思って[sourcecode lang=”js”]
module Array {
from<T>(arrayLike: {[n: number]: T; length: number}): T[];
}
[/sourcecode]と書いてもエラーになる。組み込みの Array オブジェクトの型は lib.d.ts で書かれたものから変更できないのだ。

だがちょっと待て。Math オブジェクトは自前で拡張できたではないか。これは何でだったかというと、Math オブジェクトは[sourcecode lang=”js”]
interface Math {

}
declare var Math: Math;
[/sourcecode]という風に定義されていて、Math インターフェースにメソッドを追加すれば Math オブジェクトを拡張できたのだ。Array も[sourcecode lang=”js”]
interface ArrayConstructor {
new (arrayLength?: number): any[];

prototype: Array<any>;
}
declare var Array: ArrayConstructor;
[/sourcecode]と定義されていれば良かったのに。Array だけではなくて、Object, Number, String 等の組み込みオブジェクトも同じ問題を抱えている。

ググってみたらすでに同じ問題で悩んでいる人がいた。

最初のStack Overflowの回答によると、「自前の lib.d.ts を用意しろ」らしい。つらい。

[2015年1月18日 追記] 以上の問題点はTypeScript 1.4のリリースにより解決しました。詳しくはこちら

滑らかな曲線をベジエ曲線で近似する

目次

ベジエ曲線とは

ベジエ曲線とはWikipedia(英語版)によると(本当はちゃんとした文献を当たるべきなのだろうが)、\(n+1\) 個の点 \(x_0, x_1, \dots, x_n\) が与えられた時に\[
B(t)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}t^i(1-t)^{n-i}x_i, \quad 0\le t\le 1
\]で定まる曲線らしい。始点 (\(t=0\)) は \(x_0\)、終点(\(t=1\))は \(x_n\) である。\(n\) のことを次数という。

(1次の場合は単なる線分なので置いておいて)よく使われるのは2次の場合と3次の場合である。それぞれ\begin{align*}
\mathit{quadratic B\acute{e}zier}(t)&=(1-t)^2x_0+2t(1-t)x_1+t^2x_2, \\
\mathit{cubic B\acute{e}zier}(t)&=(1-t)^3x_0+3t(1-t)^2x_1+3t^2(1-t)x_2+t^3x_3
\end{align*}で与えられる。

2次の場合は始点 \(x_0\) と終点 \(x_2\) の他に1個の制御点 \(x_1\)、3次の場合は始点 \(x_0\)、終点 \(x_3\) の他に2個の制御点 \(x_1\), \(x_2\) によって決まる。制御点は始点及び終点における接線を与えるためにある。ここではベジエ曲線についてはこれ以上突っ込んだ事は取り扱わない。

こういう、「制御点を与えて曲線を描く」のは、ドロー系の描画ソフトウエアを使ったことのある方はおなじみだろう。SVGやPostScriptなどのベクター画像形式でも、ベジエ曲線は基本的な描画対象である。

プログラミングに関して言うと、大抵のグラフィックAPIには2次か3次のベジエ曲線を描画するAPIがある。例えば、HTML5 Canvasの場合

context.quadraticCurveTo(cpx, cpy, x, y) /* 2次 */
context.bezierCurveTo(cp1x, cp1y, cp2x, cp2y, x, y) /* 3次 */

というAPIがあり、Cocoaの場合は

NSBezierPath
-(void)curveToPoint:(NSPoint)aPoint controlPoint1:(NSPoint1) controlPoint2:(NSPoint)controlPoint2 /* 3次 */

というAPIがある。いずれも始点を指定する引数がないが、これらのAPIを使った時の始点は「現在の点の位置」になる。つまり、最後の描画操作における終点か、あるいはmoveToなどのAPIを使って指定した点である。

滑らかな曲線をベジエ曲線で近似する

さて、滑らかな曲線 \(f\colon[0,1]\to\mathbf{R}^2\) をベジエ曲線で近似するということを考えよう。動機としては例えば、プログラミングで曲線を描きたい時に、大抵のグラフィックスAPIには任意の曲線を描画するようなAPIはないので(2次か3次の)ベジエ曲線を使って近似する事になる。2次か3次と書いたが、以後3次のベジエ曲線で近似する事を考える。

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