せっかく作ったブログをいつまでも放置するのもアレなので、最近勉強していることを書くことにする。

先学期の授業で登場したけど全然理解しないまま終わったホモロジーとかを理解したくて、どうせやるならと思ってアーベル圏の勉強をしている。本はCWMの、アーベル圏の章を進めている。

アーベル圏というのはどういう圏のことを言うのかというと、単純なものから順に定義を書いておくと

Preadditive category (前加法圏)

各 hom-set にアーベル群の構造が入っていて、射の合成が bilinear になっている圏を preadditive category という。CWMでは Ab-category と呼んでいる。

Kernel, cokernel や biproduct などの概念を定義することができる(kernel, cokernel は preadditive category でなくても、ゼロ射さえあれば定義できる)。

Additive category (加法圏)

Preadditive category であって、ゼロ対象と biproduct (直和) をもっている圏を additive category という。

Abelian category (アーベル圏)

Additive category であって、全ての射が kernel と cokernel を持っていて、全ての monic 射が kernel であり、全ての epi 射が cokernel である圏を abelian category という。

Abelian category では、射の image や coimage の概念を定義することができる。また、完全列の概念も定義できる。

…という風になる。

アーベル圏で完全列を定義できるということは、five lemma とか snake lemma を定式化できるということである。この辺のレンマの証明は、CWMではアーベル圏の章のセクション4に書かれている。

このセクションの最初の方にアーベル圏 A の短完全列の圏 Ses A が加法圏であるとさらっと書かれているが、最初に読んだときに Ses A もアーベル圏なんだと勘違いして証明を考えるのに数週間費やしてしまった。おかげで図式の扱いには慣れた気がするし、短完全列の射のカーネル、コカーネルがどうなるのかという話はスネークレンマに繋がってくるとはいえ、とんだ時間の浪費だった。

アーベル圏を勉強する前は、授業などでこれらの補題の証明にいわゆる “diagram chase” を使っているのを見て（加群の圏上ではあったが）、
「元を取ってdiagram chaseなんてしたら圏論的な証明にならないのでは！？」
と思っていたが、蓋を開けてみたら、一般のアーベル圏上で「元」に相当する概念を定義して、その「元」に対して monic や epi がそれぞれ普通の単射、全射と同じような振る舞いをすることを証明し、five lemma や snake lemma などの補題の証明では元を取って証明していたのだった。もちろん、圏論的な証明であるから、「dual を取って証明の半分を省略する」というようなことはできる。